Книга Пифагор и его школа - Леонид Яковлевич Жмудь

доказательства от противного. Обе эти детали указывают на его пифагорейское происхождение, но многие исследователи считают, что это доказательство слишком сложное, чтобы быть первоначальным. Существует несколько реконструкций первоначального доказательства иррациональности. Так, например, К. фон Фриц полагал, что Гиппас открыл иррациональность при построении додекаэдра: ведь диагональ правильного пятиугольника (образующего грань додекаэдра) также несоизмерима с его стороной{107}. Однако более убедительными кажутся реконструкции, связывающие открытие иррациональности с диагональю и стороной квадрата. Вот, например, одно из них, предложенное У. Кнорром{108}.

Дан квадрат ABCD. Из чертежа видно, что квадрат DBHI является его удвоением. Если сторона DB и диагональ DH соизмеримы, можно сосчитать, какое количество раз каждая из них измеряется их общей мерой. При этом из чисел DB и DH по крайней мере одно не должно быть четным. Квадраты DBHI и AGFE представляют собой квадратные числа. AGFE — это удвоенный DBHI, как ясно из чертежа. Следовательно, AGFE — эта, четное квадратное число, и его сторона AG, равная DH, должна быть четной. Значит, AGFE делится на 4. Поскольку ABCD — это 1/4 AGFE, он представляет собой четное число. Квадратное число DBHI является его удвоением. Отсюда DBHI и его, сторона DB — четные числа. Таким образом, вопреки предположению, мы приходим к тому, что числа DB и DH четные. Следовательно, эти две линии несоизмеримы.

Какую бы реконструкцию первоначального доказательства иррациональности *2 мы ни приняли, остается очевидным, что это открытие явилось важнейшим этапом становления греческой математики. «Открытие иррациональных чисел поставило проблему, ставшую центральной для древнегреческой математики»{109}. Над решением этой проблемы плодотворно работали такие выдающиеся математики, как Гиппократ Хиосский, Феодор, Теэтет, Евдокс. Их результаты были собраны и обработаны в «Началах» Евклида, ставших образцом для всей последующей математики.

В середине нашего века значение открытия несоизмеримых велдчин многие были склонны даже переоценивать, полагая, что оно привело к так называемому кризису оснований в греческой математике — по аналогии с тем, что произошло, в математике, на рубеже XIX–XX вв.{110}. Исследования последних десятилетий показали, что аналогия эта была неудачной: никакого «кризиса оснований» в математике V в. до н. э. не было{111}. Столь, же мало подтверждений находит и идея о том, что открытие Гиппаса нанесло «смертельный удар» по пифагорейской догме «все есть число». К этому вопросу мы еще вернемся в главе о пифагорейской философии.

Пифагорейская математика

первой половины V в. до н. э

Представление о том, чего достигли пифагорейцы в математике до начала деятельности Гиппократа Хиосского, можно получить, сопоставляя свидетельства Евдема с тем, что вытекает из фрагмента сочинения самого Гиппократа.

Часть сообщений Евдема сохранилась под его собственным именем. Так, например, Прокл отмечал, что Евдем приписывал пифагорейцам теорему о равенстве углов треугольника двум прямым (Евкл. I, 32) и задачи на приложение площадей, которые, трактуются в I и II книгах Евклида (фр. 136, 137). К Евдему восходит и ряд других свидетельств, сохранившихся у Прокла, Паппа Александрийского ги в схолиях; к «Началам» Евклида. Ведь именно Евдем занимался историей математики незадолго до того, как были написаны Евклидовы «Начала» и располагал обширными сведениями, позже утраченными.

К кому, например, может восходить сообщение о том, что пифагорейцы знали следующую теорему: плоскость вокруг точки могут заполнить только следующие правильные многоугольники: шесть треугольников, четыре квадрата и три шестиугольника? Теоремы этой у Евклида нет, а Евдем, живший до него, вполне мог о ней знать. Ему же <мы обязаны и некоторыми другими ценными сведениями, например, о том; что пифагорейцам принадлежит вся IV книга Евклида, рассматривающая отношения правильных. многоугольников. и круга, или о том, что три правильных многогранника (тетраэдр, куб и додекаэдр) построили пифагорейцы, а октаэдр и икосаэдр — Теэтет.

Теоремы, уже известные Гиппократу Хиосскому, подтверждают сообщения Евдема и одновременно расширяют наши представления об уровне пифагорейской математики. Гиппократ хорошо знал значительную часть теорем I книги Евклида, обобщенную теорему Пифагора для остроугольных и тупоугольных треугольников (Евкл. Щ 12–13), теорему о правильном шестиугольнике, вписанном в круг (Евкл. IV, 15). Вместе с тем правильный пятиугольник, вписанный в, круг, был известен уже Гиппасу. Мы еще раз убеждаемся в. том, что вся IV книга Евклида была известна пифагорейцам, за исключением, может быть, последнего предложения о правильном пятнадцатиугольнике (Евкл. IV, 16).

Поскольку IV книга прямо опирается на положения III книги, часть из которых была известна уже Фалесу, а некоторые другие активно использовал Гиппократ при решении проблемы квадратуры луночек, следует заключить, что к пифагорейцам восходит и большая часть III книги. Правда, позже к этой книге был добавлен ряд других теорем, а старые были частично переработаны самим Евклидом, либо кем-то незадолго до него. Незначительной переработке подверглись и несколько теорем IV книги, но в целом, обе эти книги, бесспорно, восходят к пифагорейцам{112}.

Все 14 теорем II книги Евклида посвящены приложению площадей, которое, как мы помним, Евдем приписывал пифагорейцам Приложение площадей представляет собой квадрирование прямоугольной фигуры и решается нахождением среднего пропорционального x между двумя заданными отрезками а и b — квадрат со стороной х и будет равен прямоугольнику ab. Гиппократ не только отлично знал этот метод, но и развил его: он свел задачу удвоения куба к нахождению двух средних пропорциональных между двумя заданными отрезками. Здесь важно, отметить, что Гиппократу не просто были, известны предложения, которые мы возводим к пифагорейцам, — в конце концов он мог доказать, их и сам. Но дело, в том, что Гиппократ ставил перед собой уже гораздо более сложные задачи, и опирался на достижения пифагорейцев в решении своих собственных проблем, таких как квадратура луночек или удвоение куба.

Итак, можно заключить, что к середине V в. до н. э. пифагорейцами было создано содержание II и IV книг Евклида, большинство положений III книги и значительная часть I книги. I книга стоит здесь несколько особняком: это связано с тем, что во второй половине IV в. до н. э. она была сильно переработана и к ней были добавлены многие новые, предложения, например касающиеся параллелограммов, Что же касается частичной переработки II, III и IV книг, то она была произведена отнюдь не потому, что Евклида или его предшественников не удовлетворяла строгость доказательств пифагорейцев. Дело в том, что к середине IV в. до н. э. Евдокс создал новую теорию пропорций, приложимую и к несоизмеримым величинам. Евклид поместил ее в V книге и соответственно ему пришлось изменить доказательства всех тех положений первых четырех книг, которые опирались на старую теорию пропорций