Книга Пифагор и его школа - Леонид Яковлевич Жмудь

его математических открытий. Греки часто писали о математически окрашенной философии Пифагора, но никогда не рассматривали, его как математика по преимуществу, и прежде всего потому, что он им не был. Среди самых разнообразных областей, в которых проявился его талант — политика, религия, философия и наука, — математика по самой сути вещей не могла занимать ведущее положение. Мы можем предполагать, что уже первые «профессиональные» математики — Гиппократ, Теэтет, Евдокс — занимались наукой систематически и с полной отдачей сил, в то время как для Пифагора не менее важными были его политическая деятельность и религиозно-этическое учение.

Однако, для того чтобы дать сбалансированную оценку роли Пифагора в развитии математики, необходимо рассматривать его в реальной исторической перспективе и сравнивать не с Архитом или Евдоксом, а с его предшественником Фалесом, для которого математика также не была основной сферой приложения интеллектуальных сил. При таком сравнении можно с полным основанием говорить о новом этапе греческой математики, начавшемся с Пифагора.

Основа математической науки — дедуктивный метод— был применен в ней впервые Фалесом, причем прилагался к фактам, истинность которых очевидна. Теорема Пифагора такой наглядностью не обладает и является, следовательно, важным шагом вперед. Неоднократно отмечавшуюся тенденцию раннегреческой математики перенести центр тяжести от наглядности геометрического построения на логическое доказательство следует связывать именно с Пифагором. Об этом в сущности писал уже Евдем, подчеркивая более абстрактный характер геометрии Пифагора по сравнению с Фалесом.

Хотя применительно ко времени Пифагора еще нельзя говорить о сколько-нибудь развитой теории в геометрии, потребность в ней уже явно ощущалась. Она выражалась в формулировании как первых основных аксиом геометрии (они были уже в пифагорейском математическом учебнике){104}, так и первых геометрических определений. Согласно традиции, Пифагор первым стал давать определения в математике (Д. Л. VIII, 48).

Если Фалес впервые занялся «угловой» геометрией в отличие от «линейной» геометрии египтян и вавилонян, то Пифагор сделал следующий шаг и положил начало стереометрии, построив правильный тетраэдр и куб.

Помимо геометрии, он распространил дедуктивный метод и на арифметику, создав в ней первые образцы теории чисел: учение о четном и нечетном и теорию фигурных чисел. С них начинается засвидетельствованное Аристоксеном отделение арифметики как отрасли теоретической науки от практического искусства счета. Здесь же, вероятно, было впервые применено доказательство от противного, хотя с таким же успехом оно могло возникнуть и в геометрии.

Упомянем, наконец, и о других заслугах Пифагора, которые по важности не уступают его собственным достижениям в математике. Пифагор был основателем славной школы математиков, более века, определявшей развитие этой науки в Греции. Мы имеем в виду не только Гиппаса, Феодора из Кирены или Архита, но и тех, кто воспринял от пифагорейцев основы этой науки: Демокрита, Гиппократа, Гиппия Элидского, Теэтета или Евдокса. За пределами этой группы фактически не остается почти никого из крупных математиков V — первой трети IV в. до н. э.

Причина столь значительных успехов лежит, конечно, не в приверженности математиков тому направлению пифагорейской мысли, которое считало число ключом к познанию мира. Хотя подобная идея неоднократно высказывалась, никто еще не смог объяснить, каким образом это убеждение могло помочь кому-нибудь именно в математических изысканиях в отличие, скажем, от приложения математики к исследованию природы. Во всяком случае, Гиппас, который считал началом всего не число, а огонь, добился в математике куда больших успехов, чем, например, Филолай, активно развивавший числовую философию (а вместе с ней и математическую мистику).

Расцвет точных наук в этой школе, помимо общих причин греческого культурного переворота, связан с тем, что уже во времена Пифагора в ней были объединены четыре родственные науки — арифметика, геометрия, астрономия и гармоника{105} — и этот квадривиум не только разрабатывался, но и преподавался последующим поколениям. Это позволяло постоянно накапливать новые знания и сохранять их, а вместе с тем приобщать к занятиям математикой именно в том возрасте, который благоприятен и для ее изучения, и для самостоятельного исследования. Пифагорейская традиция, — поддержанная софистами и закрепленная авторитетом Платона, пережила и античность, и средневековье, она сохраняет свою ценность и в наши дни.

Гиппас

Из пифагорейских математиков первой половины V в. до н. э. мы знаем одного Гиппаса. Имена других до нас не дошли, но это вовсе· не значит, что их не существовало. За время от Пифагора до Гиппократа Хиосского пифагорейцы достигли в математике слишком многого, чтобы все это связывать только с Гиппасом. Возможно, среди десятков ничего не говорящих нам имен в каталоге Аристоксена и упоминаются те, кто занимался математикой во времена Гиппаса, но никаких сведений об этих людях нет. Подобная ситуация в практике V в. до н. э. редка: как правило, греческие ученые подписывали свои сочинения, и их имена, таким образом, сохранялись в традиции. Но все же она не уникальна. Из более чем шестидесяти медицинских трактатов гиппократовского корпуса, созданных в V–IV вв. до н. э., до сих пор удалось установить авторство лишь нескольких, а из оставшихся ни один нельзя с полной уверенностью приписать самому Гиппократу Косскому.

Можно предположить, что анонимность пифагорейских математиков, помимо общей фрагментарности наших сведений, связана еще и с тем, что математический компендий, которым пользовался Гиппократ Хиосский, носил учебный характер. Он мог не содержать имена его авторов, представляя, так сказать, достижения школы в целом. Вероятно, поэтому первым пифагорейским математиком, которого Евдем упоминал по имени, был Феодор из Кирены, ровесник Гиппократа. В восходящих к Евдему фрагментах имя Гиппаса не встречается; впрочем, они слишком малочисленны, чтобы мы могли делать из этого какие-либо выводы.

Традиция связывает с Гиппасом два важных открытия: построение додекаэдра, вписанного в шар, и открытие иррациональных величин (18 А 4). Имя Гиппаса в поздних источниках появляется в обрамлении мрачных легенд. По одной из них, он присвоил себе открытие додекаэдра, принадлежащее Пифагору, и был за это изгнан из сообщества. Согласно другой, он разгласил непосвященным тайну иррациональности и по воле разгневанного божества погиб в кораблекрушении.

Недоброжелательность пифагорейской традиции к Гиппасу основана, вероятно, на том, что он участвовал в антипифагорейском выступлении конца VI в. до н. э. (18 А 5). Легенды же, связанные с разглашением иррациональности, возникли, скорее всего, потому, что слово ******* (букв, «невыразимый») значило одновременно «иррациональный» («не выразимый в числах») и «священный, тайный». Такое объяснение давал еще в древности Папп Александрийский (III в.), занимавшийся историей математики; его принимают и многие современные исследователи{106}.

Классическое доказательство иррациональности *2 (т. е. несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной) дается в приложении к X книге Евклида. Оно опирается на учение о четном и нечетном и ведется методом