Книга Симпсоны и их математические секреты - Саймон Сингх

3987¹² + 4365¹² = 4472¹²

На первый взгляд уравнение выглядит безобидным, если только вы не знаете кое-что из истории математики, – иначе вы с отвращением разобьете в щепки свою логарифмическую линейку. Похоже, Гомеру удалось совершить невозможное – найти решение знаменитой загадки последней теоремы Ферма!

Пьер Ферма предложил эту теорему в 1637 году. Несмотря на то что Ферма был любителем, решавшим задачи исключительно в свободное время, он является одним из величайших математиков в истории. Ферма работал в уединении в своем доме на юге Франции, и его единственным математическим компаньоном была книга под названием Arithmetica[10], написанная Диофантом Александрийским в третьем веке нашей эры. Читая этот древнегреческий текст, Ферма обратил внимание на раздел со следующим уравнением:

x² + y² = z²

Хотя это уравнение имеет непосредственное отношение к теореме Пифагора, Диофанта не интересовали треугольники и длины их сторон. Вместо этого он поставил перед читателями задачу решить его в целых числах. Ферма уже был знаком с методами поиска таких решений, кроме того, он знал, что у этого уравнения их бесконечное множество. К числу этих решений, которые называют «пифагоровыми тройками», относятся следующие:

3² + 4² = 5²

5² + 12² = 13²

133² + 156² = 205²

Поскольку загадка Диофанта показалась Ферма скучной, он решил проанализировать ее другой вариант и найти целые решения такого уравнения:

x³ + y³ = z³

Несмотря на все усилия, Ферма удалось найти только тривиальные решения с участием нуля, такие как 0³ + 7³ = 7³. При попытке отыскать более содержательные решения самым лучшим, что он смог предложить, было уравнение, отличающееся от искомого всего на единицу: 6³ + 8³ = 9³ − 1.

Более того, при дальнейшем увеличении степени, в которую возводятся x, y и z, попытки найти целые решения каждый раз заканчивались ничем. Ферма пришел к выводу, что целочисленных решений для любого из следующих уравнений нет:

x³ + y³ = z³

x4 + y4 = z4

x5 + y5 = z5

x6 + y6 = z6

xn + yn = zn, где n > 2

Однако в конце концов Ферма совершил прорыв. Он не нашел множества чисел, которые стали бы решением одного из этих уравнений, но зато сформулировал доказательство того, что такого решения не существует, и в связи с этим набросал на полях «Арифметики» пару интригующих предложений на латыни. Начав с утверждения о том, что целочисленных решений любого из бесконечного множества упомянутых выше уравнений нет, затем он уверенно прибавил: «Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hanc marginis exiguitas non caperet» («Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него»).

Пьер Ферма нашел доказательство, но не удосужился его записать. Пожалуй, это самая удручающая запись за всю историю математики, особенно учитывая тот факт, что Ферма унес свой секрет в могилу.

Впоследствии сын Ферма Клемент-Самуэль обнаружил отцовский экземпляр «Арифметики» и обратил внимание на эту интригующую заметку на полях. Кроме того, он нашел в книге еще много ценных записей, ведь Ферма имел привычку, заявив об очередном доказательстве, редко записывать его. Клемент-Самуэль решил опубликовать новую редакцию «Арифметики» со всеми заметками своего отца, сделанными на полях первого издания, и она вышла в 1670 году. Это оживило математическое сообщество, пробудив у его представителей острое желание найти отсутствующие доказательства, связанные с каждым заявлением Ферма. И, надо сказать, постепенно они подтвердили правоту Ферма во всех случаях, кроме одного. Никто не смог доказать, что уравнение xn + yn = zn (n > 2) не имеет решений. В итоге его назвали «последняя теорема Ферма», поскольку оно было единственным, остающимся недоказанным.

Шли десятилетия, а теорема Ферма так и оставалась загадкой, над решением которой бились многие математики, считая это делом чести. Например, немецкий промышленник Пауль Вольфскель, умерший в 1908 году, завещал 100 000 марок (в наше время эта сумма эквивалентна 1 миллиону долларов) в качестве вознаграждения тому, кто все же расколет этот крепкий орешек. По некоторым свидетельствам, Вольфскель не выносил свою жену и других членов семьи, поэтому его завещание должно было унизить их и воздать должное математике – предмету, который он обожал. Другие утверждают, что премия стала способом выражения благодарности Ферма за то, что в период, когда Вольфскель был на грани самоубийства, увлеченность этой теоремой наполнила его жизнь смыслом.

Какими бы ни были мотивы, премия Вольфскеля привлекла к теореме всеобщее внимание, и со временем она даже стала частью массовой культуры. В рассказе The Devil and Simon Flagg («Саймон Флэгг и дьявол»), написанном Артуром Порджесом в 1954 году, титульный герой заключает с дьяволом фаустовский договор. Единственная надежда Саймона Флэгга на спасение души – задать дьяволу вопрос, на который тот не сможет ответить, поэтому он предлагает доказать последнюю теорему Ферма. Признав свое поражение, дьявол говорит: «Вы знаете, даже лучшие математики других планет – а они намного опередили вас – не добились решения. Эх, один малый на Сатурне, чем-то напоминающий гриб на ходулях, решает в уме дифференциальные уравнения в частных производных. Но тут и он спасовал»[11].

Последняя теорема Ферма упоминается также в романах (таких как The Girl Who Played with Fire[12]), художественных фильмах (например, Bedazzled[13] с участием Брендана Фрейзера и Элизабет Херли) и спектаклях («Аркадия» Тома Стоппарда). Пожалуй, самый известный пример – ее появление в 1989 году в сериале «Звездный путь: следующее поколение», когда в эпизоде «Отель “Рояль”» капитан Жан-Люк Пикар говорит о теореме Ферма как о «загадке, которую мы можем никогда не разгадать». Однако он ошибался, а его сведения устарели, потому что действие эпизода происходит в XXIV веке, а теорему в 1995 году доказал Эндрю Уайлс из Принстонского университета[14].