Книга Симпсоны и их математические секреты - Саймон Сингх

Еще один способ понять, почему бутылка Клейна пересекает сама себя в трехмерном пространстве, но не пересекает в четырехмерном, сводится к сравнению нашего восприятия ветряной мельницы в трех и двух измерениях. В трехмерном измерении мы видим, как лопасти ветряной мельницы вращаются перед вертикальной башней. Однако ситуация меняется, если взглянуть на тень ветряной мельницы на траве. В этом двумерном представлении лопасти как будто проносятся сквозь башню снова и снова. В двумерной проекции они пересекают башню, чего не происходит в трехмерном мире.

Очевидно, что форма бутылки Клейна отличается от формы обычной бутылки, что, в свою очередь, указывает на одно удивительное свойство бутылки Клейна, которое становится очевидным, если мы представим, что перемещаемся по поверхности бутылки Клейна, как показано на рисунке ниже. В частности, вообразите, что вы движетесь в направлении, которое указывает черная стрелка, расположенная на внешней поверхности бутылки Клейна.

Стрелка перемещается вверх, затем поворачивает вокруг внешней поверхности горлышка бутылки и уходит за точку пересечения, где конец стрелки становится серым. Это говорит о том, что теперь она проходит по внутренней поверхности бутылки. Переместившись вперед, стрелка возвращается в исходную точку, за исключением того, что теперь она находится внутри бутылки. Если стрелка продолжит свое путешествие вверх, к горлышку бутылки, и снова вниз, к основанию, то она вернется на внешнюю поверхность и в конце концов выйдет на исходную позицию. То, что стрелка может без отрыва перемещаться между внутренней и внешней поверхностью бутылки Клейна, означает, что на самом деле обе поверхности представляют собой фрагменты одной и той же поверхности.

Безусловно, без четко выраженной внутренней и внешней поверхности бутылка Клейна не отвечает основным критериям, по которым ее можно бы было считать бутылкой в привычном понимании. В конце концов, как можно налить пиво в бутылку, у которой внутри – это то же самое, что снаружи?

В действительности Клейн никогда не называл свое творение бутылкой. Первоначально этот объект обозначался термином Kleinsche Fläche («поверхность Клейна»), что вполне уместно, поскольку он состоит из одной поверхности. Однако англоязычные математики, по всей вероятности, неправильно перевели этот термин, прочитав его как Kleinsche Flasche, что означает «бутылка Клейна» – и это название прижилось.

И наконец, вернемся к вопросу, который уже поднимался выше: бутылка Клейна и лента Мебиуса тесно связаны друг с другом. Самая очевидная связь заключается в том, что у них есть одно любопытное свойство: у обеих только одна поверхность. Вторая (хотя и менее очевидная) связь состоит в том, что бутылка Клейна, разрезанная на две половины, образует пару лент Мебиуса.

К сожалению, вы не сможете выполнить этот трюк, потому что бутылку Клейна можно разрезать только в случае доступа к четырехмерному пространству. Однако вы можете разрезать ленту Мебиуса. На самом деле я бы даже рекомендовал вам разрезать ее по длине, чтобы посмотреть, что получится в результате.

Если вам понравилось разрезать ленты, вот вам еще одна идея для вашего нового хобби – геометрической хирургии. Сделайте ленту, перевернув ее на 360 градусов (а не на пол-оборота, как в ленте Мебиуса). Что произойдет, если разрезать ее вдоль? Для того чтобы понять столь изощренное рассечение, понадобится изощренный ум.

Глава 17

Теорема Футурамы

Из-за старческих выходок профессора Хьюберта Дж. Фарнсворта легко забыть о том, что он – математический гений. На самом деле в полнометражном мультфильме «Зверь с миллиардом спин» (The Beast with a Billion Backs, 2008) мы узнаем о том, что Фарнсворт лауреат высшей награды в области математики – Филдсовской премии, порой именуемой Нобелевской премией по математике, причем титул ее обладателя считается еще более престижным, поскольку она присуждается только один раз в четыре года.

Профессор регулярно обсуждает свои математические идеи во время курса лекций под названием «Математика квантовых нейтринных полей» в Марсианском университете, пожизненным профессором которого он является. Постоянная должность в штате университета – это, по сути, работа на всю жизнь, а это означает, что профессору Фарнсворту нужно избегать присутствующего в таких случаях риска умственного застоя. Это распространенная проблема в академических кругах, на которую обратил внимание американский философ Дэниел Деннетт в книге Consciousness Explained («Объясненное сознание»): «Молодая асцидия скитается по морю в поисках скалы или коралла, к которому можно было бы прикрепиться и сделать своим домом. Для выполнения этой задачи у нее есть рудиментарная нервная система. Когда она находит такое место и пускает там корни, мозг ей больше не нужен – и она его съедает! (То же самое происходит в случае получения пожизненной должности.)»

Однако вместо того, чтобы впасть в умственный застой, профессор Фарнсворт использовал свою пожизненную должность для проведения исследований в других областях. Так, будучи математиком, он еще и изобретатель. В действительности Грейнинг и Коэн не случайно назвали профессора по имени Фило Тейлора Фарнсуорта (1906–1971) – плодовитого американского изобретателя, обладателя более сотни патентов США, от телевизионной технологии до мини-устройства для управления процессом ядерного синтеза.

Одно из самых причудливых изобретений профессора – «крутометр», который точно измеряет присущий человеку уровень крутости в таких единицах, как мегафонзи. Один фонзи – это мера крутости, присущая герою комедийного сериала «Счастливые дни» (Happy Days) Артуру Фонзарелли. Выбранная Фарнсвортом единица измерения, связанная с культовой фигурой, напоминает другую насмешливо-ироническую единицу измерения такого типа – миллиелену, единицу красоты, основанную на знаменитой ссылке на Елену Троянскую в пьесе Кристофера Марло Doctor Faustus («Трагическая история доктора Фауста»): «Вот этот лик, что тысячи судов гнал в дальний путь, что башни Илиона сжег некогда дотла!»[56] Следовательно, миллиелену можно формально определить как “единицу измерения красоты, соответствующую количеству красоты, необходимой для отправки одного корабля”».

С математической точки зрения самое интересное изобретение профессора Фарнсворта – это мозгообменник, который появляется в эпизоде «Узник Бенды» (The Prisoner of Benda, сезон 6, эпизод 10; 2010 год). Как следует из названия, это устройство перемещает разум одного разумного существа в тело другого. Математика не связана непосредственно с обменом разумами, а необходима скорее для того, чтобы помочь распутать неразбериху, возникающую в результате такого обмена. Прежде чем обсуждать характер этой ментальной арифметики, давайте подробно проанализируем сам эпизод, для того чтобы понять, как именно работает мозгообменник.