Книга Симпсоны и их математические секреты - Саймон Сингх

Так каким же образом эпизод «Двумерное шоссе» воздает должное роману «Флатландия»? Когда корабли профессора Фарнсворта и Лилы сталкиваются, в результате прямого удара они превращаются в плоские версии себя и перемещаются в плоском мире с плоскими животными, растениями и облаками.

Анимация в этом фрагменте эпизода строго придерживается правил двумерного мира, а это значит, что ни один объект не может перемещаться мимо другого объекта; в таком мире они могут только обходить друг друга. Однако когда я смотрел предварительный монтаж этих кадров вместе с редактором Полом Колдером, он заметил, что пушистый край одного облака слегка накладывается на край другого облака. В двумерном мире такое наложение невозможно, поэтому этот фрагмент необходимо подкорректировать, прежде чем эпизод выйдет на экраны.

Пытаясь понять последствия пребывания в новом мире, Лила и профессор постепенно осознают, что при переходе из третьего во второе измерение у них исчезли каналы пищеварительной системы. Это необходимая часть процесса перехода, поскольку пищеварительный канал в двух измерениях – верный путь к беде. Для того чтобы понять суть проблемы, представьте себе профессора в виде плоской, вырезанной из бумаги фигуры, повернутой лицом направо. Затем проведите линию от рта до ягодиц, символизирующую желудочно-кишечный канал. И наконец, разрежьте фигуру вдоль этой линии и слегка отодвиньте две части тела профессора друг от друга: пищеварительный канал представляет собой трехмерный тоннель, но в двух измерениях это просто щель. Теперь вы видите, в чем проблема. При наличии пищеварительной системы в двумерном пространстве тело профессора просто распалось бы на две части. Очевидно, что то же самое произошло бы и с Лилой.

Однако без пищеварительного тракта профессор и Лила не могут есть. Другие обитатели двумерного мира каким-то образом впитывают питательные вещества, в отличие от поглощения пищи и выделения продуктов ее переработки, но профессор и Лила не умеют этого делать.

Короче говоря, для профессора и Лилы сложилась ситуация, когда и с пищеварительным трактом не выжить, и без него не жить. Единственный выход – бежать из двумерного мира, пока они не умерли голодной смертью. К счастью, им на помощь приходят сценаристы. Коэн объясняет это так: «Профессор и Лила поняли, что происходит. Они могут использовать дрифт между измерениями, чтобы переместиться из второго в третье измерение. И здесь появляется удивительная последовательность кадров, когда они пролетают сквозь огромный фрактальный ландшафт, представляющий собой область между вторым и третьим измерением. Эта сцена содержит фрагмент поразительной компьютерной графики».

Фрактальный ландшафт в данной ситуации особенно уместен, поскольку фракталы как раз и демонстрируют фрактальную (дробную) размерность. Фрактальный ландшафт появляется в процессе перемещения из двумерного в трехмерный мир; именно здесь и можно рассчитывать на присутствие дробной размерности.

Если вы хотите узнать о фракталах больше, прочитайте Приложение 4, в котором приведен краткий обзор этой темы и уделяется особое внимание тому, как объект может быть представлен в виде фрактальной размерности.

* * *

Лента Мебиуса из «Двумерного шоссе» перекликается с математической концепцией, присутствующей в эпизоде «Путь всех зол» (The Route of All Evil, сезон 3, эпизод 12; 2002 год). Во второстепенной сюжетной линии эпизода рассказывается о том, что Бендер превращает себя в пивоварню. Идея возникает у него после посещения магазина 7¹¹, куда он с коллегами по «Межпланетному экспрессу» заходит за выпивкой. В магазине есть напиток, который обычно пьет Бедер, – пиво Olde Fortran, названное так в честь разработанного в 1950-х годах языка программирования FORTRAN (сокр. от FORmula TRANslation – «перевод формул»). Кроме того, на полках также выставлено пиво St. Pauli’s Exclusion Principle Girl («Эксклюзивная девушка настоятеля святого Паули), в названии которого присутствует ссылка на реальное пиво St. Pauli Girl, а также на один из фундаментальных законов квантовой физики – принцип исключения Паули. Самый большой интерес представляет третий сорт пива – Klein’s, которое разлито в бутылки странной формы. Истинные ценители необычных геометрических фигур узнают в ней бутылку Клейна, которая тесно связана с лентой Мебиуса.

Эта фигура названа в честь Феликса Клейна, одного из величайших немецких математиков XIX столетия. По всей вероятности, судьба Клейна была предопределена еще в момент его появления на свет, поскольку каждый элемент даты его рождения (25 апреля 1849 года) представляет собой квадрат простого числа:

Клейн занимался исследованиями в разных областях, но самой знаменитой является его так называемая бутылка Клейна. Как и в случае ленты Мебиуса, вам будет легче понять форму и структуру бутылки Клейна, если вы сами сконструируете ее модель. Вам понадобятся:

1) лист резины;

2) скотч;

3) четвертое измерение.

Если у вас, так же как и у меня, нет доступа к четвертому измерению, тогда попробуйте себе представить, как теоретически построить псевдобутылку Клейна в трех измерениях. Сначала представьте, что вы скручиваете лист резины в цилиндр и склеиваете его скотчем по длине, как показано на первом рисунке ниже. Затем отметьте два конца цилиндра стрелками, указывающими в противоположных направлениях. Далее (и это самый сложный этап) цилиндр необходимо изогнуть таким образом, чтобы можно было соединить два его конца со стрелками, указывающими в одном направлении.

Именно здесь пригодилось бы четвертое измерение, но вместо этого вам придется проявить смекалку. Как показано на двух средних рисунках, необходимо изогнуть цилиндр, а затем представить себе, что вы просовываете один его конец через отверстие в его же стенке и разворачиваете его внутри вверх. И наконец, после этого самопересечения заверните выступающий конец цилиндра вниз (как показано на четвертом рисунке), для того чтобы соединить два конца цилиндра. Важно, чтобы после такого соединения стрелки на каждом конце цилиндра указывали в одном направлении.

И бутылка Клейна, и бутылка пива Klein’s в «Футураме» – это самопересекающиеся фигуры, поскольку они существуют в трехмерном пространстве. Напротив, в четырехмерном мире бутылке Клейна нет необходимости пересекаться с самой собой. Для того чтобы объяснить, как дополнительное измерение позволяет избежать самопересечения, давайте рассмотрим аналогичную ситуацию с участием меньшего количества измерений.

Вообразите фигуру в форме восьмерки, нарисованную ручкой на бумаге. В этом случае чернильная линия неизбежно пересечет сама себя в центре восьмерки, подобно тому как цилиндр пересекает сам себя посредине бутылки Клейна. Такое пересечение имеет место потому, что линия расположена в двумерной плоскости. Однако эта проблема не возникнет, если добавить третье измерение и сделать восьмерку из куска веревки. Один ее фрагмент можно поднять в третье измерение, поскольку он накрывает второй фрагмент веревки, а значит, ей нет необходимости пересекаться с самой собой. Следовательно, если бы цилиндр из резинового листа можно было переместить в четвертое измерение, то появилась бы возможность сконструировать бутылку Клейна без самопересечения.