Книга Увлекательно о космосе. Межпланетные путешествия - Яков Перельман

Рис. 59. К расчету скорости полета

По второму закону Кеплера площади, описываемые радиусом-вектором в равные времена, равны. Пусть тело (планета) движется вокруг Солнца по эллипсу с полуосями а и b; период обращения Т секунд, секундная скорость υ, радиус-вектор r; тогда для точек перигелия и афелия имеем равенство

где левая часть есть выражение (приближенное) для площади, описываемой радиусом-вектором за 1 с, a πab – площадь эллипса. Имеем:

Пусть теперь тело (звездолет, планета), движущееся вокруг Солнца по круговой орбите радиуса r, должно перейти в точке А своего пути на эллиптическую орбиту с полуосями а и b. Определим, какое для этого необходимо изменение скорости.

Из третьего закона Кеплера следует, что отношение квадрата периода обращения планеты к кубу ее среднего расстояния от Солнца (или большой полуоси) есть величина постоянная; для планет Солнечной системы эта постоянная равна (в единицах системы см – г – с)

откуда

Отсюда имеем скорость у кругового движения около Солнца на расстоянии г.

Обращаясь к эллиптической орбите, имеем прежде всего

Из формулы (5) мы знаем, что скорость υэ движения по эллиптической орбите в точке А

Так как скорость υK движения по круговой орбите (см. (6)

то из сопоставления формул (6) и (7) имеем

По этой формуле и вычисляется скорость, какую необходимо сообщить звездолету, чтобы с круговой орбиты он перешел на эллиптическую или удалился в бесконечность. В последнем случае полагаем большую полуось а эллипса равной бесконечности. Имеем

то есть для удаления звездолета с круговой орбиты в бесконечность необходимо, чтобы круговая скорость его увеличилась в √2 раз. Так, для удаления с земной орбиты (соответствующая скорость 29,6 км/с) в бесконечность нужна скорость

υ∞ =29,6√2 = 41,8,

то есть приращение скорости 41,8 – 29,6 = 12,2 км/с.

Теперь мы можем вычислить скорость, какая должна быть сообщена звездолету для преодоления притяжения Земли и Солнца и, следовательно, для свободного удаления с Земли в бесконечность. Чтобы преодолеть притяжение, нужна начальная скорость 11,2 км/с, то есть работа («живая сила») для каждого килограмма веса звездолета

Чтобы преодолеть солнечное притяжение, нужна работа (υ = 12 200 м/с)

Общая работа для преодоления совокупного притяжения Земли и Солнца равна

Искомая скорость x получается из уравнения:

откуда

Вычислим теперь начальные скорости, необходимые для достижения планет Марса и Венеры. Для Марса

Поэтому из формулы (8) имеем

то есть нужна добавочная скорость 32,6 – 29,6 = 3 км/с.

Искомая скорость для преодоления совокупного притяжения Земли и Солнца вычисляется, как сейчас было показано:

Таким же образом определяем, что для достижения Венеры нужна начальная скорость, не меньшая