Книга Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - Хаим Шапира

Совершенно невозможно, чтобы прошло бесконечное число половинных промежутков времени. Следовательно, время вообще не проходит, что означает, что его и не существует. Вы просто чересчур погружены в обманчивый мир чувств.

Хотя я и не верю в чтение – ибо это еще одна распространенная иллюзия чувственного мира, – некогда я тем не менее прочитал несколько строк, которые содержат почти разумное утверждение:

Время не проходит –проходим мы. Да, мы.Мы не тратим времени –время тратит нас.

А раз уж мы заговорили о книгах, вот человек, который написал немало книг, а прочел их еще больше, чем написал, и дает моей благородной точке зрения блестящее обоснование.

Это Бертран Рассел, английский философ и математик (да, я понимаю, что он будет жить через две тысячи лет после того, как время окончательно потратит меня, и все же…).

Рассел считается одним из величайших мыслителей XX столетия, и у него был свой вариант моей знаменитой апории об Ахиллесе и черепахе (к слову сказать, время потратило и Рассела). Рассел изложил свою вариацию моей апории в статье «Математика и метафизики»[33], в которой он также удостоил меня звания «отца философии бесконечности» – каковое звание я, разумеется, нахожу весьма впечатляющим, несмотря на свою привычку сомневаться во всем, в том числе и в собственной способности сомневаться.

Кое-кто утверждает, что версия Рассела более замысловата, чем моя, и ее не так легко опровергнуть. Мне не кажется, что сравнивать эти версии честно – Рассел придумал свою, стоя на моих плечах. Когда ребенок стоит на отцовских плечах, он не становится выше отца. Зато мне кажется, что опровергнуть ее не просто нелегко, а невозможно (как, впрочем, и мою).

Вот что говорит Рассел: «Допустим, черепаха начинает забег с некоторого положения, находящегося перед Ахиллесом. В любой момент черепаха оказывается в некой определенной точке, и Ахиллес оказывается в некой определенной точке, причем ни один из них не бывает в одной и той же точке дважды на протяжении всего забега. Черепаха побывает в таком же количестве точек, что и Ахиллес, потому что оба они в каждый конкретный момент находятся в неких конкретных точках, а в другой момент – в других точках. Однако, поскольку черепаха начинает забег с форой, для того, чтобы Ахиллес обогнал черепаху, необходимо выполнение следующего условия: те точки, в которых побывает черепаха, должны составлять лишь часть тех точек, в которых побывает Ахиллес».

А теперь сосредоточьтесь и слушайте внимательно. Версию Рассела можно опровергнуть, только если отказаться от аксиомы, которая утверждает, что часть всегда меньше целого: Ахиллес побывал лишь в некоторых из точек, в которых побывала черепаха. Готовы ли вы отбросить эту аксиому? Рассел отмечает, что всякий, кто верит в ее истинность, должен согласиться, что Ахиллес, даже если он бежит в десять, в тысячу, да хоть бы и в миллион раз быстрее черепахи, никогда ее не догонит, если у черепахи была фора в метр или в сантиметр или в миллиметр.

Что же тут такое происходит? Вы следите за моими рассуждениями? Я могу показать вам, что на пути, который проходят оба бегуна – и черепаха, и Ахиллес, – существует бесконечное множество точек. Может быть, когда мы говорим о бесконечном, привычные нам правила перестают действовать?

Кстати говоря, если вы помните мою первую апорию, все эти рассуждения вообще не имеют смысла. Ахиллес и черепаха не могут даже начать свой забег: движение-то невозможно. Я позволяю вам делать столь странные предположения только из вежливости. Ха! Они даже не смогут уйти со старта! Да и вам не удастся даже выстрелить из стартового пистолета. Чтобы нажать на спусковой крючок, ваш палец должен сначала преодолеть половину расстояния, затем половину оставшегося, затем… ну, вы помните это рассуждение.

Как-то раз я опоздал на встречу со своим великим учителем и наставником Парменидом. Я объяснил ему, что опоздал, потому что по пути к месту нашей встречи в таверне «Елена Прекрасная» мне нужно было преодолеть бесконечное число половинных расстояний. Нас обоих поразил тот факт, что я вообще сумел туда добраться и мы смогли вести эту беседу.

По правде говоря, не знаю, зачем я вообще пытаюсь обосновать перед вами свои рассуждения. Как сказал однажды китайский философ Лао-цзы, «Тот, кто мудр, не спорит; тот, кто спорит, не мудр»[34]. Я мудр, так что пойду-ка я отсюда (если смогу).

Апория № 3. Полет стрелы – покой и движение

В третьей апории Зенон «доказывает», что, поскольку мгновение невозможно разделить на части, стрела, выпущенная из лука, находится в каждое мгновение в состоянии покоя (так как, если бы в любое произвольное мгновение стрела находилась в движении, причиной этого было бы то, что мгновение можно разделить на части).

Если же предположить, что время состоит из мгновений и в любое конкретное мгновение стрела неподвижна, то придется заключить, что стрела никогда не находится в движении и, следовательно, – тут Зенон снова собирается поразить нас своими стрелами, приготовьтесь! – не сможет пролететь никакого расстояния.

Какое бы мгновение мы ни выбрали, стрела находится в нем в покое. Как же из этих состояний покоя может составиться движение? Если в каждое мгновение стрела пролетает расстояние, равное нулю, как же эти нули складываются в положительное число, что «позволяет» стреле лететь?

Всё совсем не просто!

Эта апория до сих пор не имеет решения – то есть такого решения, с которым были бы согласны все члены сообществ физиков и математиков.

Грациозная походка Галь Гадот

Рассмотрим другой вариант этой апории. Представим себе, что по бульвару Ротшильда в Тель-Авиве идет чудо-женщина Галь Гадот. Никого ни в малейшей степени не удивит, если я скажу, что за красавицей следует огромная толпа людей, фотографирующих ее со всех возможных ракурсов. Инстаграм внезапно оказывается полон сотнями ее фотографий, и на каждой из них эта прелестная женщина находится в некотором статическом положении, то есть в состоянии покоя. Такова природа фотографии: она захватывает конкретное мгновение и сохраняет его навечно. Если в кадре что-нибудь движется, лучше поменять старый фотоаппарат на модель поновее или почитать в инструкции, как установить более короткую выдержку. Поскольку Галь можно фотографировать каждое мгновение, из этого следует, что в течение всей своей прогулки по бульвару она остается в состоянии покоя. Приходится спросить: «Если она все время находится в покое, когда же она идет? Как из всех этих состояний покоя получается движение?» То есть мы снова приходим к тому же самому вопросу. И ответ на него снова не вполне ясен.

Занимаемся апориями Зенона

ВОСПОМИНАНИЯ ИЗ ДЕТСТВА – ЗЕНОН НА УРОКЕ ГЕОМЕТРИИ (ДОПОСТСОКРАТИЧЕСКИЙ ДИАЛОГ)