Книга Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - Хаим Шапира

Честно говоря, этот ответ не так уж и удивителен. Мы начали с предположения, что одну минуту занимает перемещение от А до С, то есть ровно на половину суммарного расстояния; поэтому никого не должно удивлять, что все это расстояние преодолевается за две минуты.

Зенон, несомненно, возражал бы против такого решения самым энергичным образом, потому что мы получили его, предположив именно то, что нужно было доказать. Когда мы сказали «если предположить, что перемещение из точки А в точку С занимает одну минуту», мы уже предположили, что движение возможно и из точки А можно переместиться в точку С. Однако именно это положение и нужно доказать, и, следовательно, наши рассуждения образуют так называемый порочный круг.

Зенон, вероятно, пояснил бы свою точку зрения, сказав что-нибудь вроде: «Как и на каком основании вы предполагаете, что из точки А можно попасть в точку С? Мне совершенно очевидно, что вы совершаете гигантскую ошибку. Ясно, как солнце летним днем на прекрасном греческом острове, что, прежде чем попасть из точки А в точку С, необходимо преодолеть половину расстояния между ними и достичь точки Х. После этого нужно преодолеть половину оставшегося расстояния до С и добраться до точки Y и так далее и так далее.

Вы, разумеется, понимаете, что за конечное время невозможно пройти бесконечное число серединных точек. Следовательно, в противоречии с тем, что вы только что сказали, невозможно и переместиться из точки А в точку С. Я надеюсь, вы сознаете, что так же невозможно и переместиться из точки А в точку Х, потому что и в этом случае нужно сначала преодолеть половину расстояния – и все такое прочее. На самом деле из какой бы то ни было точки вообще невозможно переместиться в какую бы то ни было другую точку. Другими словами, невозможно даже начать какое бы то ни было движение».

Похоже, Зенон победил в этом споре? Не так ли?

Как вы думаете?

Апория № 2. Пята Ахиллеса и крадущаяся черепаха

Вторая апория Зенона, кажется, наиболее знаменита. В ней утверждается, что если Ахиллес, прославленный легконогий герой Троянской войны, побежит наперегонки с черепахой, не отличающейся особой стремительностью, что свойственно всем черепахам, причем у черепахи будет на старте хоть какая-нибудь фора (даже самая микроскопическая), то Ахиллес никогда не сумеет догнать черепаху. Вам это кажется нелогичным? Дадим слово любимому ученику Парменида – пусть он сам изложит свои доводы.

Зенон объясняет это так: «Как только Ахиллес добежит до той точки, с которой начала гонку черепаха, он обнаружит, что той уже там нет. Черепаха действительно уползла недалеко, но это несущественно: Ахиллес все равно остается позади».

Затем нужно всего лишь повторять то же рассуждение снова и снова. Каждый раз, когда Ахиллес добирается до той точки, в которой раньше была черепаха, он видит, что черепаха уползла еще дальше. Черепаха движется вперед с черепашьей скоростью, но Ахиллесу так и не удается ее догнать.

Мне кажется, тут имеет смысл задержаться на секунду (или даже две) и обдумать доводы Зенона.

Предположим, что состязание проводится на дистанции 100 метров. Предположим также, что скорость Ахиллеса равна 10 метрам в секунду (в конце концов, он же знаменитый спортсмен и воин, не так ли?), а черепаха ползет вперед со скоростью 1 метр в секунду (что не так уж и плохо для черепахи). Чтобы состязание было более справедливым, черепахе дается фора 10 метров.

Вполне ясно, что Ахиллес победит в этом забеге, причем без труда. Наш герой пролетит эти 100 метров за поразительно короткое время – всего 10 секунд. Черепахе нужно преодолеть лишь 90 метров, но, поскольку на прохождение каждого метра у нее уходит целая секунда, в конце дистанции она окажется лишь через 90 секунд. Итак, Ахиллес первым приходит к финишу, получает лавровый венок, кланяется собравшимся болельщикам и чрезвычайно терпеливо ждет, пока финиширует его соперник. Черепаха, истекающая потом и чуть не валящаяся с ног, прибывает через целых 80 секунд после финиша Ахиллеса.

Все это кажется абсолютно очевидным. Но Зенон смотрел на эту историю совершенно по-иному. Вот рассуждения Зенона.

Как только Ахиллес добегает до 10-метровой отметки, с которой стартовала черепаха, он обнаруживает, что черепахи там уже нет, потому что ей удалось уковылять на один метр вперед, и теперь она находится на 11-метровой отметке. Расстояние между соперниками сократилось от 10 метров до всего лишь одного, но черепаха по-прежнему впереди.

Когда Ахиллес оказывается на 11-метровой отметке, он снова видит, что и там черепаха его не ждет. За то время, пока Ахиллес бежал от 10-метровой отметки до 11-метровой, черепаха продвинулась вперед еще на 10 сантиметров. Черепаха «бежит» со скоростью, равной одной десятой скорости Ахиллеса; поэтому за то время, за которое Ахиллес покрывает расстояние x, черепаха преодолевает расстояние, равное x/10.

Вот таблица, иллюстрирующая продвижение наших двух «спортсменов»:

Из этой таблицы мы видим, что расстояние между Ахиллесом и черепахой постоянно уменьшается, но черепаха все время сохраняет некоторое преимущество. Более того, как мы видим, Ахиллес не только никогда не сможет догнать черепаху, но и никогда не доберется до 12-метровой отметки. «Что за чушь! – скажете вы. – Всего через две секунды после начала забега Ахиллес окажется в 20 метрах от старта и, несомненно, будет бежать впереди черепахи». Это кажется абсолютно очевидным. Тем не менее дадим Зенону возможность объясниться.

АПОЛОГИЯ ЗЕНОНА

Послушайте, я боюсь, что вы совершенно не поняли того, что я тут пытался объяснить. Я предложил вам весьма убедительное рассуждение, доказывающее, что Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху, если этому пресмыкающемуся дадут на старте забега хоть малейшую фору. Вы что, хотите сказать мне, что через две секунды Ахиллес окажется в 20 метрах от линии старта и будет опережать черепаху, которая будет находиться всего в 12 метрах от старта, на 8 метров?

Во-первых, я не просил никаких объяснений. Я только предложил вам найти ошибку в моем рассуждении. Вы же занялись совершенно не этим.

Во-вторых, хотя вы вели себя не лучшим образом, я все же предлагаю объединить два рассуждения – мое и ваше. Единственный возможный вывод, не противоречащий всем утверждениям, высказанным до сих пор, состоит в том, что две секунды никогда не пройдут. И у меня есть неопровержимое доказательство этого положения.

Видите ли, чтобы эти две секунды прошли, сначала должна пройти половина этого времени, то есть одна секунда. Но еще до этого должна пройти половина секунды, а до того – половина этой половины (другими словами, четверть секунды), а еще раньше – половина этого времени и так далее и так далее…