Книга Симпсоны и их математические секреты - Саймон Сингх

Глава 9

До бесконечности и дальше

В эпизоде «Игра до победного конца» (Dead Putting Society, сезон 2, эпизод 6; 1990 год) рассказывается о турнире по мини-гольфу, в финале которого Барт Симпсон играет против Тодда Фландерса, сына соседа Неда Фландерса. Ставки в игре очень высоки, поскольку отца проигравшего ждет незавидная участь: ему придется косить газон победителя в платье своей жены.

Во время напряженной перепалки Гомер и Нед, для того чтобы укрепить свои позиции, апеллировали к бесконечности:

Гомер. Завтра в это время ты наденешь высокие каблуки!

Нед. Нет, ты наденешь.

Гомер. Нет.

Нед. Наденешь.

Гомер: Нет.

Нед. Наденешь.

Гомер. Нет до бесконечности!

Нед. Наденешь до бесконечности плюс один!

Гомер. Ой!

Я спросил сценаристов, кто из них предложил идею этого диалога, но никто так и не вспомнил, что неудивительно, ведь сценарий был написан больше двадцати лет назад. Тем не менее все сошлись во мнении, что эта перепалка двух отцов нарушила весь процесс написания сценария, поскольку породила дискуссию о природе бесконечности. Так все же бесконечность плюс один больше бесконечности или нет? Данное утверждение имеет смысл или оно бессмысленно? Можно ли его доказать?

В ходе поиска ответов на эти вопросы сидевшие за столом математики упомянули имя Георга Кантора, родившегося в Санкт-Петербурге в 1845 году. Кантор был первым математиком, который действительно пытался осмыслить понятие бесконечности. Однако его объяснения носили исключительно технический характер, поэтому миссия интерпретировать результаты исследований Кантора была возложена на блестящего немецкого математика Давида Гильберта (1862–1943). Гильберт умел находить аналогии, которые делали идеи Кантора о бесконечности более удобоваримыми и доступными для понимания.

Одно из самых известных объяснений бесконечности включало в себя воображаемое здание, известное как отель Гильберта – достаточно большое, с бесконечным количеством номеров, обозначенных числами 1, 2, 3 и т. д. В один особенно оживленный вечер, когда все номера заняты, появляется новый гость, не забронировавший номер заранее. К счастью, владелец отеля доктор Гильберт знает, как решить проблему. Он просит всех постояльцев перебраться из текущего номера в следующий. То есть жилец номера 1 переходит в номер 2, жилец из номера 2 – в номер 3 и т. д. У всех гостей по-прежнему есть номера, но номер 1 теперь свободен и в нем может поселиться новый гость. Этот сценарий подразумевает (и тому есть более строгое доказательство), что бесконечность плюс один равна бесконечности – пожалуй, весьма парадоксальный, но все же неоспоримый вывод.

Это значит, что Нед Фландерс неправ, полагая, что он может взять верх над бесконечностью Гомера, прибавив к ней единицу. В действительности Фландерс оказался бы неправ, даже если бы попытался выиграть спор, прибавив бесконечность к бесконечности, что доказывает еще одна сцена из отеля Гильберта.

Отель снова переполнен, и тут прибывает бесконечно большой автобус. Его водитель спрашивает доктора Гильберта, может ли отель вместить всех пассажиров. Гильберт невозмутим. Он просит всех своих нынешних постояльцев перебраться в номер с числом в два раза больше. То есть гость из номера 1 переходит в номер 2, гость из номера 2 переходит в номер 4 и т. д. В результате имеющаяся бесконечность гостей занимает только четные номера, а бесконечное количество нечетных номеров освобождается. Теперь отель сможет предоставить номера для бесконечного количества пассажиров автобуса.

Пример опять кажется парадоксальным. Возможно, вы даже думаете, что это полная бессмыслица, не более чем оторванные от жизни философские рассуждения. Тем не менее выводы по поводу бесконечности представляют собой нечто большее, чем просто софистику. Математики делают их последовательно, шаг за шагом, выстраивая строгий, прочный фундамент.

Эту мысль хорошо иллюстрирует анекдот, в котором ректор университета жалуется на декана физического факультета: «Почему физикам всегда нужно столько денег на лаборатории и оборудование? Почему вы не можете быть как математический факультет? Математикам нужны только карандаши, бумага и корзина для бумаг. Или еще лучше: почему бы вам не быть как философский факультет? Они просят только карандаши и бумагу».

Этот анекдот высмеивает философов, которым не присуща научная строгость математиков. Математика – это кропотливый поиск истины, потому что каждая новая гипотеза подвергается безжалостной проверке, а затем либо вводится в общую схему знаний, либо выбрасывается в корзину для мусора. Некоторые математические концепции бывают абстрактными и загадочными, но даже они должны пройти процесс тщательного анализа.

Таким образом, отель Гильберта наглядно продемонстрировал, что:

бесконечность = бесконечность + 1

бесконечность = бесконечность + бесконечность

Хотя Гильберту удалось избежать в объяснениях специальных математических выкладок, Кантор, для того чтобы сделать свои парадоксальные выводы о бесконечности, был вынужден глубоко погрузиться в математическую организацию чисел, и такое интеллектуальное напряжение не прошло для него бесследно. Кантор страдал от тяжелых приступов депрессии, проводил много времени в больнице и начал верить в то, что находится в непосредственный связи с Богом. В действительности он считал, что это Бог помог ему сформулировать свои идеи, и верил, что бесконечность – это синоним Бога: «Она реализована в наиболее полной форме, в сверхъестественном существе, в Боге; я называю ее Абсолютной бесконечностью, или Абсолютом». Психическое состояние Кантора было отчасти результатом насмешек и критики в его адрес со стороны более консервативных математиков, которые не могли смириться с его радикальными выводами о бесконечности. К большому сожалению, в 1918 году Георг Кантор умер в полной нищете.

После смерти Кантора Гильберт так прокомментировал попытки своего коллеги постичь математику бесконечности: «Бесконечность! С давних пор ни один вопрос так не будоражил человеческую мысль, как этот; ни одна другая идея не действовала на разум столь побуждающе и плодотворно; но и ни одно другое понятие так сильно не нуждается в разъяснении, как бесконечность».

Гильберт ясно дал понять, что в борьбе за постижение бесконечности принимает сторону Кантора: «Никто не изгонит нас из рая, созданного для нас Кантором».

* * *

Помимо математиков, в команду сценаристов «Симпсонов» входили также другие ученые, интересующиеся математикой, например Джоэл Коэн (не имеющий никаких родственных связей с Дэвидом Коэном), изучавший точные науки в Альбертском университете в Канаде; Эрик Каплан, который изучал в Колумбийском университете и в Беркли философию науки; Дэвид Миркин, планировавший стать инженером-электротехником и, прежде чем присоединиться к команде «Симпсонов», окончивший Университет Дрекселя в Филадельфии и работавший в Национальном экспериментальном центре авиационного оборудования. Джордж Мейер получил диплом по биохимии, а затем сфокусировался на математике, безуспешно пытаясь разработать безопасную систему ставок в собачьих бегах. Для мира комедии было настоящим подарком судьбы то, что Мейер бросил эту затею и сделал карьеру в качестве одного из самых авторитетных комедийных сценаристов в Лос-Анджелесе.