Книга Симпсоны и их математические секреты - Саймон Сингх

Применение правильной стратегии игры, основанной на теории игр, сыграло в свое время ключевую роль, когда японская компания Maspro Denkoh выставила в 2005 году на аукцион свою коллекцию произведений искусства. Для того чтобы решить, с каким аукционным домом заключить многомиллионный контракт, с Sotheby’s или Christie’s, в Maspro Denkoh устроили между их представителями битву по КНБ. Международный директор отдела импрессионизма и современного искусства Christie’s Николас Маклин отнесся к этому настолько серьезно, что попросил совета у своих одиннадцатилетних дочерей-двойняшек. Опыт двойняшек подтверждали результаты исследования Всемирного общества КНБ, поскольку девочки тоже считали, что камень – самый распространенный ход. Более того, они обратили внимание, что продвинутые игроки знают об этом и выбирают в качестве своего хода бумагу. Интуиция подсказывала Маклину, что в Sotheby’s остановятся именно на этой продвинутой стратегии, поэтому посоветовал боссам в Christie’s сделать еще более тонкий ход, выбросив ножницы. Представители Sotheby’s действительно выбрали бумагу, поэтому Christie’s выиграли.

Еще один уровень математических тонкостей возникает, когда мы придаем игре КНБ дальнейший импульс, включив в нее больше вариантов. Прежде всего необходимо подчеркнуть, что любая новая версия КНБ должна иметь нечетное количество вариантов (N). Это единственный способ сбалансировать игру, так как каждый вариант выигрывает и проигрывает равному количеству других вариантов: (N – 1)/2. Следовательно, не существует такой версии КНБ, в которой было бы четыре варианта хода, но есть версия с пятью вариантами, придуманная программистом Сэмом Кассои и ставшая популярной после появления в восьмой серии второго сезона телесериала «Теория большого взрыва» (The Big Bang Theory, 2008 год), под названием «камень, ножницы, бумага, ящерица, Спок» (сокращенно КНБЯСп). Вот круговая иерархия и жесты для игры «камень, ножницы, бумага, ящерица, Спок».

По мере увеличения количества вариантов вероятность ничьей снижается на 1/N. Следовательно, вероятность ничьей в КНБ составляет 1/3, а в КНБЯСп – 1/5. Если кто-то хочет свести вероятность ничьей к минимуму, то самой большой и лучшей версией КНБ будет созданная художником-аниматором Дэвидом Лавлейсом КНБ-101. Она содержит 101 жест и 5050 возможных вариантов ходов, которые однозначно приведут к выигрышу. Например, трясина засасывает грифа, гриф съедает принцессу, принцесса усмиряет дракона, дракон поджигает робота и т. д. Вероятность ничьей составляет 1/101, что меньше одного процента.

Пожалуй, самое интересное математическое событие, произошедшее благодаря изучению игры КНБ, – это изобретение так называемых нетранзитивных игральных костей, сразу же вызвавших к себе повышенный интерес, поскольку на гранях каждой из них обозначены другие цифры:

Мы с вами можем выбрать по одной игральной кости и сыграть ими друг против друга. Выигрывает тот, чья кость покажет большее число. Так как вы думаете, какая кость лучшая?

В приведенных ниже таблицах показано, что происходит с тремя возможными парами костей: (А против Б), (Б против В), (В против А). Из первой таблицы следует, что кость А лучше, чем кость Б, поскольку она выигрывает в 20 из 36 возможных вариантов развития событий. Другими словами, кость А в среднем выигрывает в 56 процентах случаев.

А как насчет пары «кость Б против кости В»? Вторая таблица показывает, что кость Б лучше, так как она выигрывает в 56 процентах случаев.

В реальной жизни мы привыкли к транзитивным отношениям, которые означают, что если А лучше Б, а Б лучше В, то А должно быть лучше В. Тем не менее, бросив кость А против кости В, мы обнаружим, что кость В лучше, потому что она выигрывает в 56 процентах случаев, как показано в третьей таблице. Именно поэтому такие кости названы нетранзитивными: они не подчиняются обычному правилу транзитивности, так же как и ходы в КНБ. Как уже отмечалось выше, правила КНБ подчиняются нетрадиционной круговой иерархии, а не простой иерархии сверху вниз.

Каждая таблица показывает все возможные варианты развития событий, когда две игральные кости выбрасываются друг против друга. В первой таблице, отображающей ситуацию «А против Б», можно увидеть, что верхний левый квадрат отмечен как А и окрашен в светло-серый цвет, поскольку кость А выигрывает, если на ней выпадает число 3, а на кости Б – число 2. В свою очередь нижний правый квадрат отмечен как Б и имеет темно-серый цвет, так как кость Б выигрывает, если на ней выпадает число 9, а на кости А – число 7. С учетом всех возможных комбинаций можно сделать вывод, что кость А выигрывает в среднем в 56 процентах случаев в игре против кости Б.

Нетранзитивные отношения абсурдны и противоречат здравому смыслу, но именно поэтому они и приводят в восторг математиков, будь то авторы «Симпсонов», университетские профессора… или даже самый успешный инвестор в мире, а именно Уоррен Баффет, чистая стоимость активов которого оценивается примерно в 50 миллиардов долларов. В альбоме выпускников Школы Вудро Вильсона 1947 года под фотографией Баффета стоит весьма дальновидная подпись: «Любит математику; будущий фондовый брокер».

Баффет большой поклонник нетранзитивных игральных костей и часто предлагает людям сыграть с ним партию. Он без всяких объяснений вручает сопернику три нетранзитивные кости и просит первым сделать выбор. Сопернику кажется, будто это ставит его в более выгодное положение, поскольку у него есть шанс выбрать «лучшую» кость. Разумеется, лучшей кости просто не существует, и Баффет сознательно уступает первый ход, чтобы иметь возможность выбрать кость, более сильную по сравнению с той, на которую укажет соперник. Это не гарантирует Баффету победу, но существенно повышает ее вероятность.

Когда Уоррен Баффет решил провернуть этот трюк с Биллом Гейтсом, основатель Microsoft сразу же заподозрил неладное. Он достаточно долго изучал кости, а затем вежливо предложил Баффету сделать выбор первым.