Книга Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Алекс Беллос

Из моего эксперимента можно, наверное, заключить, что веса багетов аппроксимируются слегка искаженной колоколообразной кривой, но главный урок, который я для себя извлек, состоял в том, что измерение — вовсе не простая штука. Нормальное распределение — это теоретический идеал, и нельзя предполагать, что все результаты будут ему соответствовать. Тогда я задумался об Анри Пуанкаре. Когда он взвешивал свой хлеб, исключил ли он систематические ошибки, связанные с парижской погодой или временем измерений? Быть может, из его экспериментов вовсе не следовало, что ему продавали 950-граммовый хлеб вместо килограммового, а следовало лишь, что между выпечкой и взвешиванием килограммовый хлеб теряет в весе 50 граммов? Вся история колоколообразной кривой в действительности представляет собой прекрасную аллегорию нетривиального взаимоотношения теоретических и прикладных областей знания. Однажды Пуанкаре получил письмо от французского физика Габриэля Липмана, который блестяще выразил, почему нормальное распределение столь высоко превозносится: «Все верят в колоколообразную кривую: экспериментаторы — поскольку полагают, что ее присутствие доказано математически; математики — поскольку считают, что она следует из наблюдений». В науке, как и во многих других сферах, мы часто выбираем то, что устраивает нас более всего.

Глава 11

Конец прямой

Автор завершает свое путешествие, остановившись на картофельных чипсах. Снова вспомнив Евклида, он оказывается в гостинице с бесконечным числом номеров, которая никак не может справиться с внезапным наплывом постояльцев.

Несколько лет тому назад Дайна Таймина сидела откинувшись на диване у себя дома в Итаке, штат Нью-Йорк, где она преподает в Корнеллском университете. Кто-то из домочадцев спросил ее, чем это она занимается.

— Пробую связать крючком гиперболическую плоскость, — ответила она, имея в виду конструкцию, которая одновременно озадачивала и пленяла математиков в течение почти двух столетий.

— Разве математики умеют вязать крючком? — презрительно обронил ее собеседник.

Несмотря на такое пренебрежительное отношение к ее занятию, Дайна только укрепилась в своем намерении использовать женское рукоделие для развития науки. И ей это удалось: она изобрела так называемое «гиперболическое вязание» — технику, в результате которой получаются очаровательные изделия, — а кроме того, внесла вклад в понимание геометрии, причем таким способом, о котором математики до этого и не подозревали.

Гиперболическое вязание

Чуть ниже я дам подробное определение понятию гиперболический и расскажу о том, что дает возможность понять модели, связанные Дайной, пока же все, что нам надо знать, — это то, что гиперболическая геометрия идет полностью вразрез с геометрией интуитивной, а правила игры, столь тщательно прописанные Евклидом в его «Началах», полагаются там неверными. Возникновение в начале XIX столетия «неевклидовой» геометрии ознаменовало появление в математике водораздела, который отсек геометрию, отвечающую нашему опыту, от новой геометрии, целиком и полностью ему противоречащей, что, впрочем, вовсе не делает ее математически противоречивой — наоборот, математически она верна в той же степени, что и родившаяся до нее евклидова система.

Позднее в том же столетии выдающийся немецкий математик Георг Кантор (1845–1918) совершил интеллектуальный прорыв не меньшего значения: Кантор поставил наше интуитивное понимание бесконечности с ног на голову, доказав, что бесконечность может иметь различные размеры. Неевклидова геометрия и теория множеств Кантора стали вратами в необычные и чудесные миры, которые мы посетим на ближайших страницах.

* * *

«Начала» Евклида, как мы уже говорили, были и остаются самым влиятельным во все времена учебником по математике; в них заложены основы геометрии древних греков. Кроме того, в «Началах» установлен аксиоматический метод; Евклид исходил из ясных определений используемых терминов и правил, которым надлежало следовать, а затем строил из них весь корпус своих теорем. Правила, или аксиомы, представляют собой утверждения, которые принимаются без доказательства, и поэтому математики всегда стараются сделать их простыми и самоочевидными настолько, насколько это возможно.

Евклид доказал в «Началах» 465 теорем, исходя всего лишь из пяти аксиом, которые приобрели широкую известность как пять евклидовых постулатов:

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

2. Каждую ограниченную прямую можно продолжить неопределенно.

3. Из всякого центра всяким радиусом можно описать окружность.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует с ними внутренние односторонние углы меньшие, чем два прямых угла, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Когда мы добираемся до пятого постулата, закрадывается подозрение, что тут не все в порядке. Начинаются постулаты достаточно бодро. Первые четыре легко формулируются, их несложно понять и легко принять. Но что же в их компании делает пятый? Он многоречивый, сложный и не слишком самоочевидный. Да и не столь уж фундаментальный: первый раз он требуется в «Началах» в предложении 29.

Несмотря на свою любовь к дедуктивному методу Евклида, математики невзлюбили его пятый постулат; он не только посягал на их чувство прекрасного, но и заставлял подозревать, что там принимается слишком много для простой аксиомы. И действительно, в течение 2000 лет много великих умов делали попытки изменить статус пятого постулата, пытаясь вывести его из остальных постулатов и тем самым разжаловать в теорему. Но никто в этом так и не преуспел. Быть может, величайшее свидетельство гения Евклида состоит как раз в понимании того, что и пятый постулат необходимо принимать без доказательства.

Больший успех сопутствовал математикам в попытках переформулировать постулат в других терминах. Например, англичанин Джон Уоллис еще в XVII веке понял, что все, имеющееся в «Началах», можно доказать, взяв первые четыре постулата неизменными и заменив пятый постулат следующим альтернативным вариантом: если задан любой треугольник, его можно увеличить или, наоборот, сжать до любого размера таким образом, чтобы длины сторон оставались в неизменном отношении друг к другу, а углы между сторонами не менялись. Хотя осознание того, что пятый постулат можно перефразировать как утверждение о треугольниках, а не о прямых, означало глубокое проникновение в суть происходящего, это не развеяло беспокойства математиков: альтернативный постулат Уоллиса, может, и был более (хотя и не так уж) интуитивным, чем пятый постулат, но он все равно не получался столь же простым или очевидным, как первые четыре. Были открыты и другие эквиваленты пятого постулата; Евклидовы теоремы по-прежнему оставались верными, если заменить пятый постулат утверждением о том, что сумма углов треугольника составляет 180 градусов, или что верна теорема Пифагора, или что для всех окружностей отношение длины окружности к диаметру равно π. Сколь бы неожиданным такое ни показалось, все эти утверждения математически взаимозаменяемы. Эквивалентное утверждение, которое наиболее удобным образом выражает суть пятого постулата, однако, касается поведения параллельных линий. Начиная с XVIII столетия математики, изучавшие Евклида, стали отдавать предпочтение следующему варианту, известному как постулат о параллельных: