Книга Нечеткая логика - Феликс Ланге

Это двухвалентный случай, черно-белый мир математики и Аристотеля. Наше уравнение Инь-Ян здесь вообще неприменимо. Более того, оно имеет абсолютно нулевую степень. Существуют только точные, четко очерченные границы. Теперь предположим, что некоторые яблоки не полностью красные – на них есть оранжевые, розовые или зеленые полосы. Если мы попросим продавца фруктов распаковать ящик яблок и разделить его на две части – красные и яблоки, которые красными не являются, он может сформировать не только две части яблок, но отложить и третью часть – яблоки, которые не будут принадлежать ни к одной из двух вышеупомянутых категорий. Яблоки из третьей части будут в некоторой степени красными и в некоторой степени зелеными или розовыми. Именно эту третью часть продавцам фруктов трудно классифицировать, и они таким образом нарушают закон Аристотеля: либо – либо.

Теперь предположим, что продавец распаковывает новую коробку яблок. На этот раз каждое яблоко настолько же не красное, насколько красное. Мы не знаем, как продавец измеряет красноту яблок, пока он раскладывает яблоки по разным частям. Получается, что все яблоки попадут в третью гору яблок и, если мы захотим изобразить это на диаграмме Венна, она будет выглядеть уже по-другому.

Помимо этого, можно изобразить диаграмму Венна, где две части яблок будут идентичны друг другу и, соответственно, равны друг другу.

Тогда наше уравнение Инь-Ян будет точным на все 100 %: А = не А, поскольку мы не можем отличить части яблок.

Эти три примера, три нечетких диаграммы Венна еще раз показывают нам, что черное и белое – особенные случаи серого и что многозначность сводится к бивалентности в крайних случаях. В жизни, как и в диаграммах Венна, мы чаще обмениваем нечеткость на простоту двузначности.

В поисках компромисса между нечеткостью и двузначностью ученые искали картину которая могла бы его обрисовать. И эта картина была найдена на примере кубика Рубика. Цветные маленькие квадраты не были частью этой картины, хотя являлись частью более сложной картины нечетких систем. Кубик Рубика выглядит как трехмерный нечеткий куб. Любая из шести граней кубика Рубика выглядит как двумерный куб или сплошной квадрат – двумерный нечеткий куб. Любое из двенадцати ребер кубика Рубика выглядит как одномерный куб или прямая линия над одномерным нечетким кубом.

Если по углам куба лежат бивалентные множества, то что же находится внутри? Нечеткие или многозначные множества. Итак, по углам куба лежит двухвалентность, многозначность же находится в других плоскостях. Логика Аристотеля правит на гранях нечеткого куба, в редком случае черно-белых опций среди серых опций. Логика и мышление Будды правит там, где нет граней и углов куба. Логика Будды правит повсюду внутри этого куба. Можно сказать, что она полностью, на 100 % действует в средних значениях, в середине самого куба, где мы видим наше уравнение Инь-Ян. Читателю эта картина может комично представиться в виде маленьких фигурок Будды и Аристотеля, находящихся по обе стороны кубика. Куб сам по себе является своего рода парадоксом: как бы ни старались ученые, у них никогда не получится привести то, что внутри этого куба, к черно-белым рамкам, ребрам этого самого куба. Невозможно одновремено наполовину заполнить и опустошить стакан с водой. Пожалуй, средние значения отклонений – своеобразная черная дыра в теории множеств.

Больше информации – больше нечеткости

Информация помогает нам представить мир. Каждую секунду наши глаза передают нашему мозгу миллионы битов информации. Наши умы питаются посредством газет, телешоу, телефонных звонков, писем и даже сплетен. Мы расширяем наши ощущения с помощью микроскопов, контактных линз, биноклей, термометров, сканеров, телескопов и сотен других устройств, которые помогают нам преобразовать мир в информацию и воспринимать таким образом. Каждая новая система координат меняет наш разум. Внутри нашего мозга они влияют на то, как действуют наши мозговые клетки или нейроны, синапсы, по которым нервные импульсы передаются между двумя клетками. По мере получения дополнительной информации мы получаем более точную картину мира. Мы получаем более четкое представление о фактах. Но влияет ли все это каким-либо образом на нечеткость фактов?

Предположим, что Джону исполнилось тридцать лет. Стал ли Джон старым? Да или нет? Он молод? Да или нет? Добавьте немного информации. Уточните возраст Джона. Скажем, мы знаем, что Джону исполнилось 30 лет в конкретный день (уточните день его рождения). Так, получается, что Джон старше или моложе в зависимости от того, когда именно ему исполнилось 30. Что говорит нам точная информация о возрасте Джона? Она говорит нам, что Джон будет старше, когда ему исполнится 35 лет, т. е. в этом случае он будет старше, чем сейчас. Это говорит нам о том, что вопросы, стар он или молод, вопросы именно о старости и о молодости, являются вопросами степени. Это нечеткие понятия – старые и молодые – для нечетких подмножеств населения.

Все сводится к следующему: как и где мы рисуем линию? Этот вопрос преследует черно-белые рассуждения о мире серого. Правительство США утверждает, что совершеннолетие начинается с первой секунды восемнадцатилетия. Правительство разграничивает людей четкой линией. Мы можем представить ее как воображаемую линию, которая разбивает детей и взрослых по шкале лет.

Мы можем рисовать разные линии в разное время в возрасте до и после 18 лет, но не можем обозначить их предельно четко, веско обосновав их. Мы знаем лишь и с уверенностью можем утверждать, что 14-летняя девушка не является совершеннолетней и будет гораздо младше той, которой 25 лет и которую уж точно можно назвать взрослой. Мы также знаем, что, в соответствии с нечеткой концепцией, взрослость наступает с возрастом. Таким образом, нечеткий принцип рассматривает взрослых как нечеткое понятие и рисует его как кривую, а не линию.

Попробуем простым языком объяснить, что такое теория нечеткой логики на примере такого понятия как молодость. Казалось бы, возраст легче всего связать с числами и математикой. Но не все так просто. Так, если установить некий формальный возрастной интервал (скажем, от 16 до 30 лет) и оставаться в рамках классической двоичной логики, допускающей только «да» или «нет», то результат будет противоречить логике человеческой: если ваш возраст равен «30 лет + 1 день», то вы сразу выпадаете из категории «молодой».

Нечеткая теория рисует кривую между противоположностями: между А и не А. Больше информации, больше «фактов» помогают нам нарисовать кривую. Если у нас будет достаточно информации, мы можем превратить наши смутные представления о старых и молодых в кривые с нечетким множеством.