Книга Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир - Андрей Райгородский

Что такое оптимальное решение

Если вы недавно посещали Нидерланды, то последний раздел вас мог удивить. Железнодорожное движение далеко от совершенства. Мелкие (и крупные) задержки случаются сплошь и рядом. Пересадки порой очень короткие, их легко пропустить при малейшем опоздании. Поезда часто переполнены, особенно вагоны наиболее популярного 2-го класса. Далеко не все обрадовались новому расписанию. Влиятельная голландская газета NRC Handelsblad писала:

Это единственная форма высшей математики, которая вызвала в обществе такую бурю эмоций.

Александр Схрейвер, знаменитый голландский математик, один из лучших в мире специалистов по оптимизации, играл ведущую роль в составлении нового расписания. Критика журналистов его не очень взволновала. В одной из статей, рассчитанной на широкую публику, он пишет:

Что определяет оптимальность? Комфорт пассажиров? Общий доход? Расписание персонала? Циркуляция материалов? Или пунктуальность? Каждый из этих аспектов сам по себе уже трудно оценить. Но даже если удастся, как взвесить эти факторы по отношению друг к другу?

Очень важно понимать, что оптимальное решение вовсе не означает решение идеальное. Оптимизация происходит с массой ограничений, и пожелания к решению противоречат друг другу. Например, максимальное количество пассажиров и дешевизна перевозок противоречат максимальному комфорту. Оптимальное решение – это лучшее, что мы можем сделать при заданных ограничениях и приоритетах.

В реальных задачах необходимо, чтобы математики и менеджеры сотрудничали и прислушивались друг к другу. Менеджеры должны уметь расставить приоритеты и обозначить ограничения. Математики должны уметь не только запустить в ход свои многогранники, но и вникнуть в особенности данной задачи. И тогда мы получим новые красивые результаты, которые воплотятся в значительных проектах. Как написал авторам сам Схрейвер: «Это был масштабный проект, но за ним стояла очень интересная, чистая математика». А свою статью он закончил словами: «Математика железных дорог пока далека от совершенства».

Приложения для подготовленного читателя к главе 2

Глава 3

Мир нулей и единиц

Перевод текста в килобайты

Как передаются тексты с одного компьютера на другой? Например, мы хотим переслать текст «Мама мыла раму» или «Над всей Испанией безоблачное небо». Как это сделать? Разумеется, по проводам нельзя передать напечатанные слова «мама», «небо» и другие. Можно передать только сигналы. Значит, каждой букве или слову нужно подобрать свой сигнал.

Как перевести слова в сигналы? Если подумать, то на ум приходит нечто вроде азбуки Морзе, когда все буквы и слова передаются в виде точек и тире. Совершенно аналогично компьютеры пользуются всего двумя сигналами. Поэтому вся информация в компьютере записывается посредством двух символов: 0 и 1.

Понятно, что мы только для примера написали фразы по-русски. А вдруг завтра нам понадобится передать сообщение на английском или французском, где совсем другие (латинские) буквы, не говоря уже о разных «акцентах», характерных для французского языка? А еще есть арабские буквы, несколько витиеватых алфавитов Индии и тысячи, если не десятки тысяч, китайских и японских иероглифов! Обучить компьютер отличать один язык от другого – не проблема, такие программы уже есть. Но для хранения и передачи информации это совершенно бесперспективно. Гораздо проще для каждого символа, будь то буквы, иероглифы или знаки препинания, составить свою, уникальную, последовательность из нулей и единиц. К этому можно добавить отдельные последовательности для часто употребляемых слов, особенно если их не слишком много.

Конечно, можно построить компьютеры, которые будут различать три разных сигнала или больше. Но двоичная система (два сигнала, два символа) гораздо удобнее. Ток либо есть (1), либо нет (0) здесь машина не может ошибиться. Поэтому устройства с двоичной системой проще в изготовлении и надежнее.

Все наши компьютеры устроены именно так. Мы печатаем тексты на всех языках мира, рисуем таблички и сохраняем фотографии, а в памяти компьютера нет ничего, кроме нулей и единиц. На самом деле это поразительно!

Соответственно, объем информации в компьютере определяется тем, сколько нулей и единиц нам понадобилось. Каждый ноль или единица представляют собой минимальный объем информации, так называемый один бит. Восемь битов, то есть последовательность из восьми нулей и единиц, называется один байт. Всем известный килобайт (Кбайт), та самая единица измерения объема наших имейлов и документов, равен 1024 байта, или 8192 нуля и единицы. Аналогично мегабайт – это 1024 килобайта.

Почему 1024, а не просто 1000? Потому что в двоичной системе, где всего две цифры, проще всего пользоваться степенями двойки: 2, 4, 8, 16, 32 и так далее. Вполне логично, что в привычной нам десятичной системе, где у нас 10 цифр от 0 до 9, удобно пользоваться степенями десятки: 10, 100, 1000 и так далее. Число 1024 – это два в десятой степени:

1024=210=2×2×2×2×2×2×2×2×2×2

Многие считают, что килобайт – это тысяча байтов. Строго говоря, это не так, но приблизительно верно и больше соответствует нашей привычке считать десятками, сотнями и тысячами.

Сколько килобайтов в вашем сообщении, зависит не только от самого текста, но и от того, каким образом ваши слова были переведены в нули и единицы.

Как сделать сообщение компактным? Где гарантия, что замена нескольких нулей на единицы из-за помех в каналах связи не изменит смысл на полностью противоположный? Проблемы передачи информации послужили толчком для развития целой области современной математики – теории кодирования.

Что такое кодирование

Итак, наша цель – закодировать каждый символ или каждое слово текста с помощью нулей и единиц. Фактически код – это словарь, состоящий из кодовых слов. Каждое кодовое слово представляет собой последовательность нулей и единиц (желательно небольшой длины), которая что-то означает (буква, цифра, знак препинания или целое слово). Построить код можно множеством разных способов, а значит, эта задача очень интересная.

Давайте, к примеру, закодируем отдельно каждую букву русского алфавита. Забавно, кстати, что, когда ставишь эту задачу студентам, почти всегда кто-нибудь спрашивает, сколько букв надо учитывать: 32 или 33. По-видимому, они считают букву «ё» не вполне самостоятельной, потому что в текстах ее обычно меняют на «е». Будем все-таки считать, что букв у нас 33. Сколько байтов (нулей и единиц) нам понадобится, чтобы закодировать 33 буквы?

Совершенно ясно, что тридцати трех байтов вполне достаточно, потому что мы можем каждую букву обозначить кодом из 32 нулей и одной единицы – на той позиции, которую занимает эта буква в алфавите. Такой наивный код будет выглядеть так:

а: 100000000000000000000000000000000