Книга Быстрая математика: секреты устного счета - Билл Хэндли

числами в задаче.

Рассмотрим это на примере. Допустим, что вы только что перемножили 13 и 14 и получили 182. Надо проверить, правильный ли это ответ.

13 х 14 = 182

Сначала у нас идет число 13. Найдем сумму его цифр и получим первую подстановку:

1 + 3 = 4

4 становится подстановкой для 13.

Следующим числом идет 14. Найдем и ему подстановку, для чего сложим его цифры:

1 + 4 = 5

5 служит подстановкой для 14.

Теперь выполним умножение, используя вместо исходных чисел подстановки:

4 х 5 = 20

20 — это опять двузначное число, поэтому сложим и его цифры и получим наше контрольное число, которое поможет нам определить правильность ответа:

2 + 0 = 2

2 — это контрольное число, служащее для определения правильности ответа.

Если мы верно решили исходный пример, тогда сумма цифр ответа должна совпасть с контрольным числом.

Складываем цифры исходного полученного ответа:

1 + 8 + 2 = 11

11 — это двузначное число, а нам нужно однозначное, поэтому сложим и его цифры:

1 + 1 = 2

2 — это тоже число-подстановка, но на этот раз для проверяемого ответа. Поскольку оно совпало с контрольным числом, пример решен правильно.

Попробуем еще раз, взяв произведение 13 х 15:

13 х 15 = 195

1 + 3 = 4 (подстановка для 13)

1 + 5 = 6 (подстановка для 15)

4 х 6 = 24

24 — двузначное число; для получения однозначного сложим его цифры:

2 + 4 = 6

6 — наше контрольное число.

Теперь, чтобы проверить, правильно ли мы решили пример, сложим цифры исходного полученного ответа.

1 + 9 + 5 = 15

Превратим 15 в однозначное число:

1 + 5 = 6

Поскольку данный ответ совпадает с контрольным числом, можно быть уверенными, что мы не допустили ошибки в решении исходного примера.

Выбрасывание девяток

Есть способ, который позволяет еще больше сократить по времени данную процедуру. Когда бы нам ни встречалось число 9 в наших вычислениях в ходе проверки, можно смело его вычеркивать. В случае предыдущего полученного ответа — 195, — вместо того чтобы находить сумму 1 + 9 + 5, мы могли просто вычеркнуть 9 и складывать уже только 1 + 5, что дало бы в итоге 6. Это никак не сказывается на результате, но позволяет избежать лишней работы и сэкономить время. Такие вещи мне всегда по душе.

А как насчет ответа на первый решенный пример — 182?

Мы складывали 1 + 2 + 8, получили 11, а затем сложили 1 + 1 и получили контрольное число 2. В числе 182 две цифры дают в сумме 9: 1 и 8. Просто вычеркните их, и в результате у вас получится требуемое число 2. И делать ничего не надо.

Решим еще один пример, чтобы посмотреть, как работает метод:

167 х 346 = 57782

1 + 6 + 7 = 14

1 + 4 = 5

С первым числом никакого фокуса не получилось. 5 является подстановкой для 167.

3 + 4 + 6 =

Сразу замечаем, что 3 + 6 = 9, поэтому вычеркиваем 3 и 6, как будто их и не было. Остается 4, которое является подстановкой для числа 346.

Имеются ли девятки или цифры, дающие в сумме 9, в ответе примера, который мы, собственно, и проверяем? Да, есть: 7 + 2 = 9, поэтому вычеркиваем эти цифры. Остальные складываем: 5 + 7 + 8 = 20. Затем 2 + 0 = 2. Это число, служащее подстановкой для ответа.

Я обычно записываю числа-подстановки карандашом над или под множителями в примере. Это могло бы выглядеть следующим образом:

Итак, правильный ли ответ был получен?

Перемножаем числа-подстановки: 5 на 4 дает 20. Сумма цифр в числе 20 равна 2 (2 + 0 = 2). Мы получили число, равное контрольному, поэтому ответ является верным.

Рассмотрим еще пример:

456 х 831 = 368936

Запишем под множителями числа-подстановки:

Это не составило труда, поскольку мы вычеркнули 4 и 5 из первого множителя, и у нас осталось 6; затем мы вычеркнули 8 и 1 из второго множителя, и у нас осталось 3; и потом нам удалось вычеркнуть почти все цифры в ответе.

Теперь посмотрим, что дают нам числа-подстановки. 6 на 3 равно 18, цифры которого в сумме дают 9, которое тоже можно вычеркнуть. Остается 0. Контрольным же числом у нас является 8. Значит, мы где-то допустили ошибку.

Заново решив пример, получаем 378936.

Правильный ли ответ мы получили на этот раз? 936 можно вычеркнуть, после чего складываем первые три цифры: 3 + 7 + 8 = 18, что в сумме дает 9, от которого тоже остается 0, поэтому его можно выбросить. Имеет место совпадение с контрольным числом, значит, на сей раз ответ получен верный.

Доказывает ли метод выбрасывания девяток, что мы получили верный ответ? Нет, но мы можем быть почти уверены в правильности ответа (см. главу 16). Например, предположим, что мы получили в ответе последнего примера 3789360, по ошибке добавив лишний нуль в его конце. Он не отразится на проверке при выбрасывании девяток, и мы не сможем определить, допущена ошибка или нет. Однако в тех случаях, когда использование метода указывает на ошибку, мы можем быть абсолютно уверены, что это так.

Выбрасывание девяток является простым и быстрым способом проверки, который позволяет легко обнаруживать ошибки. Метод поможет вам безошибочно решать контрольные по математике, можете быть уверены.

Каким образом работает данный метод?

Загадайте число и умножьте его на 9. Сколько будет 4 на 9? 36. Сложим цифры этого числа (3 + 6), и в результате получится 9.

Попробуем с другим числом. 3 на 9 равно 27. Сложим цифры (2 + 7), и у нас получится снова 9.

11 на 9 дает 99. 9 плюс 9 равно 18. Неверный ответ? Не так быстро. 18 — двузначное число, поэтому опять сложим цифры: 1 + 8. Снова в ответе получается 9.

Если умножить любое число на 9, сумма полученного числа всегда даст 9, если продолжать складывать цифры, пока не получится однозначное число. Это простой способ узнать, делится ли число на 9 без остатка.

Если цифры числа дают в сумме 9 или число,