Книга Великая теорема Ферма - Саймон Сингх

Уайлс вернулся в Принстон и вскоре снова приступил к доказательству гипотезы Таниямы-Шимуры. Вскоре ему удалось доказать эффективность придуманного им доказательства по индукции для одной конкретной эллиптической кривой. К сожалению, он пока не мог доказать, что метод Колывагина-Флаха, прекрасно работавший для одной конкретной эллиптической кривой, применим к другой кривой. И тут Уайлс понял, что все эллиптические кривые подразделяются на различные семейства. Если метод Колывагина-Флаха модифицировать так, чтобы он стал эффективным для одной кривой, то он будет применим и ко всем эллиптическим кривым того же семейства. Задача сводилась к тому, чтобы приспособить метод Колывагина-Флаха к каждому из семейств эллиптических кривых. И хотя для некоторых семейств модифицировать метод Колывагина-Флаха оказалось труднее, чем для других, Уайлс был уверен, что постепенно сумеет преодолеть все трудности.

Наконец, после шести лет упорного труда, Уайлс увидел свет в конце туннеля. Неделя за неделей он продвигался вперед, доказывая, что все новые и более обширные семейства эллиптических кривых должны быть модулярными. Казалось, что долгожданная победа была лишь вопросом времени. На заключительной стадии доказательства Уайлс смог по достоинству оценить, что все его доказательство опирается на использование метода, который он открыл для себя всего лишь несколько месяцев назад. Теперь Уайлса начал интересовать вопрос, вполне ли строго он использовал метод Колывагина-Флаха.

«В тот год я очень упорно работал, пытаясь усовершенствовать метод Колывагина-Флаха, но оказалось, что этот метод сопряжен с необычайно тонкой техникой, которой я по-настоящему не владел. Было необходимо проделать колоссальный объем довольно трудных вычислений, для выполнения которых мне нужно было выучить много нового.

В начале января 1993 года я решил, что мне необходимо довериться кому-нибудь, кто разбирается в той геометрической технике, которую я изобрел для расчетов. Эксперта я выбирал очень тщательно: ведь мне предстояло доверить ему свою тайну, и я должен был быть уверен в том, что он не разгласит ее. Я решил рассказать обо всем Нику Катцу».

Профессор Ник Катц также работал на математическом факультете Принстонского университета и знал Уайлса несколько лет. Несмотря на их близкое соседство, Катц никогда не интересовался тем, что происходило буквально в том же коридоре. Он в мельчайших деталях помнит тот момент, когда Уайлс открыл ему свою тайну: «Однажды Эндрю заглянул ко мне на чай и попросил меня зайти к нему в кабинет. Ему хотелось обсудить со мной кое-что. Я не имел представления, о чем пойдет речь, но отправился к нему в кабинет. Когда мы вошли, Эндрю запер дверь на ключ и сообщил мне, что, как ему кажется, он может доказать гипотезу Таниямы-Шимуры… Я был просто вне себя от изумления, настолько фантастически звучало его заявление.

Уайлс пояснил, что в значительной части своего доказательства он использовал разработанное им обобщение метода Колывагина-Флаха. Именно эта часть вызывала у него наибольшие сомнения, и он хотел просмотреть ее вместе с кем-нибудь, чтобы убедиться, что все в ней правильно. По мнению Уайлса, я был тем человеком, который мог бы помочь ему проверить сомнительную часть, но мне показалось, что он попросил меня по другой причине. Уайлс был уверен, что я буду держать язык за зубами и ничего не расскажу другим о его работе». После шести лет, проведенных в добровольной изоляции, Уайлс открыл свою тайну. Теперь Катцу предстояло преодолеть внушительную гору вычислений, выполненных Уайлсом. Все, что сделал Уайлс, было открытием, и Катцу пришлось основательно подумать над тем, как лучше осуществить проверку: «То, что собирался объяснить мне Уайлс, было необычайно велико по объему. Не стоило и пытаться изложить все за одну неформальную беседу в его кабинете. Для работы столь большого объема был необходим цикл еженедельных лекций, в противном случае было бы невозможно разобраться в сути дела. И мы решили устроить такой курс лекций».

Уайлс и Катц пришли к мнению, что оптимальной стратегией был бы курс лекций для аспирантов математического факультета. Уайлс должен был читать лекции, а Катц быть одним из слушателей. Курс должен был охватить ту часть доказательства, которая нуждалась в проверке, но аспирантам об этом не было известно. Изящность такого способа проверки доказательства заключалась в том, что Уайлс получал возможность шаг за шагом объяснить весь ход своих рассуждений, не вызвав никаких подозрений на факультете. Для всех остальных это был еще один курс для аспирантов.

«Итак, Эндрю объявил курс лекций под названием "Вычисления по поводу эллиптических кривых", — вспоминает Катц с лукавой улыбкой. — Название было вполне безобидным и могло означать что угодно. Уайлс ни словом не обмолвился ни о Ферма, ни о Танияме и Шимуре, а сразу углубился в технические вычисления. Ни за что на свете нельзя было догадаться, о чем в действительности шла речь. Вычисления он проводил так, что если вы не знали, ради чего все делалось, то вычисления казались невероятно сложными и техническими. А если вы не знаете, для чего вычисления, то проследить за ними невозможно. Более того, следить за сложными выкладками трудно даже в том случае, когда вам известно, куда они ведут. Как бы то ни было, аспиранты один за одним переставали ходить на лекции, и через несколько недель я остался единственным слушателем в аудитории».

Катц сидел в аудитории и внимательно следил за каждым шагом в вычислениях Уайлса. Прослушав курс, Катц пришел к заключению, что метод Колывагина-Флаха работает превосходно. Никто из остальных сотрудников математического факультета не подозревал о том, что происходит. Никто и не думал, что Уайлс может в самом ближайшем времени заявить о своих притязаниях на самый важный приз в математике. План Уайлса и Катца удался на славу.

По завершении курса лекций Уайлс сосредоточил все свои усилия на завершении доказательства. Он успешно применял метод Колывагина-Флаха к одному семейству эллиптических кривых за другим, и на этой стадии только одно семейство оставалось неприступным. Уайлс описывает, как он пытался восполнить последний элемент доказательства: «Однажды утром в конце мая Нада гуляла с детьми, а я сидел за письменным столом и размышлял о последнем семействе эллиптических кривых. Я просматривал статью Барри Мазура, как вдруг мое внимание привлекла одна фраза. В ней упоминалась некая конструкция XIX века, и я внезапно понял, что мне нужно применить эту конструкцию, чтобы методом Колывагина-Флаха можно было воспользоваться и в случае последнего семейства эллиптических кривых. Я продолжал обдумывать мелькнувшую идею и после полудня и даже забыл спуститься к ленчу. Часам к трем-четырем дня я окончательно убедился в том, что мне удалось решить последнюю оставшуюся проблему. Время близилось к чаепитию. Я спустился вниз, очень удивив Наду столь большим опозданием. "Я доказал Великую теорему Ферма", — сказал я в свое оправдание».

Лекция века

После семи лет работы в одиночку Уайлс наконец завершил доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры и считал, что его мечта — доказать Великую теорему Ферма — почти исполнилась.