Книга Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - Хаим Шапира

Число a записывается в троичном представлении в виде a = 0, c1c2c3… где a = c1/3 + c2/9 + c3/27 + +… Числа 3, 9, 27 играют ту же роль, что 10, 100, 1000 играют в более распространенном десятичном представлении.

Например:

Подчеркивание цифр означает, что мы используем троичное представление.

Фома Аквинский (1224–1274) утверждал, что даже если пройдет бесконечное количество дней, ни один из них не будет удален от настоящего момента на бесконечное время. Точно так же для реальной бесконечной прямой справедливо, что расстояние между любыми двумя точками всегда будет конечным, и, как сказал Гегель, бесконечность нельзя найти нигде на бесконечной прямой.

Конкретное описание множества Кантора дается в следующем задании.

Простая головоломка

Покажите, что в троичном представлении всех точек множества Кантора не используется цифра 1.

Теперь легко видеть, что мощность множества Кантора равна ℵ, потому что в множество Кантора входят только те числа, в троичном представлении которых используются только цифры 0 и 2. Тем не менее ясно, что это множество чисел имеет такую же мощность, что и множество чисел, которые можно записать с использованием только цифр 0 и 1. Запись чисел с использованием только цифр 0 и 1 – это попросту двоичный способ записи чисел, и таким образом можно записать все числа, заключенные между 0 и 1. Следовательно, мы приходим к выводу, что множество Кантора имеет ту же мощность, что и множество всех чисел отрезка [0,1], а значит, его мощность равна ℵ.

Этот факт весьма удивителен, так как множество Кантора не имеет никакой длины. Действительно, сумма длин всех отрезков, которые мы удаляем, равна:

Таким образом, длина множества Кантора есть результат вычитания из 1 суммарной длины всех этих отрезков, то есть 1, а следовательно, длина множества Кантора равна 0.

Множество Кантора – действительно очень необычный объект. Оно содержит невычислимое количество точек – суммарная длина которых равна нулю! – которые находятся на множестве отрезков прямой! Кроме того, множество Кантора считают первым фракталом. Но этой теме придется подождать другой книги.

ЕЩЕ НЕМНОГО О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЧИСЕЛ

Между прочим, число 1 можно записать в троичном представлении как 0,2222… а в десятичном – как 0,999999… Когда я пишу, что 1 = 0,999999… многие удивленно поднимают бровь (или даже обе). Они пытаются объяснить мне, что это неверно, что 1 хоть совсем ненамного, но все же больше, чем 0,999999…

Чаще всего бывает почти невозможно убедить кого-нибудь в моей правоте. Но это не значит, что я не попытаюсь это сделать.

Попробуйте вычесть 0,9999… из 1. Что у вас получается? Если ваш результат хоть на сколько-нибудь отличается от нуля, значит, вы совершаете логическую ошибку.

Или же попробуем сделать вот что. Пусть a = 0,9999999… В таком случае 10a = 9,999999… Вычтя одно число из другого, получим 10 a – a = 9,999999… – 0,999999… А это превосходным образом дает 9a = 9, то есть a = 1.

Если уж и это вас не убедило, мне очень жаль.

Заключение

У книги о бесконечности не может быть конца; бесконечность – это нескончаемая история. Поэтому я не стану писать заключения, а дам вам одну очень красивую задачу, и вы сможете обдумывать ее столько, сколько захотите.

Взгляните на следующее равенство:

1/9801 = 0,00010203040506070809101112131415161718192021

2223242526272829303132333435363738394041424344

4546474849505152535455565758596061626364656667

6869707172737475767778798081828384858687888990

919293949596979900010203…979900010203…

Видите, что тут происходит?

Не видите?

Ну хорошо.

Вот вам то же самое, но в лучшем разрешении:

1/9801 =0,00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96

97 99 00 01 02 03…97 99 00 01 02 03 04 05 06… ad infinitum[61].

Мы получили все двузначные числа, расположенные в правильном порядке (!) и повторяющиеся до бесконечности, кроме числа 98.

Головоломка

Почему отсутствует число 98?

Действительно ли отсутствует число 98?

Что получится, если рассмотреть 1/1089?

Что получится, если рассмотреть 1/998 001?

А завершу я текст этой книги своим любимым словом:

ПОЧЕМУ?

Выражение благодарности

Прежде всего я хотел бы поблагодарить Итана Ильфельда за веру в меня и в мои книги.

Я хотел бы воздать благодарность моей верной переводчице Линде Иехиэль.

Я хотел бы выразить особую признательность Алену Деккеру, никогда не перестававшему спорить со мной, за огромную помощь и терпение.

Я чрезвычайно благодарен Тому Бенаму, специалисту по теории множеств, за мудрое редактирование моей книги и множество блестящих идей.

Кроме того, я хотел бы поблагодарить ответственного за издание этой книги, Слава Тодорова, и выразить свою признательность всем сотрудникам издательства Watkins, работавшим над ней.

Наконец, но ни в коем случае не в последнюю очередь, я хотел бы поблагодарить своих агентов – Вики Сатлоу и Зива Льюиса.

Дополнительная литература

Для тех, кто хотел бы изучить этот предмет поглубже, ниже приводится очень краткий список некоторых из тех книг, которые, по моему мнению, стоит прочитать.

Marcus du Sautoy. The Music of the Primes.

George Gamow. One Two Three… Infinity.