Книга Время переменных. Математический анализ в безумном мире - Бен Орлин

Я несколько раз перечитал примечание Уоллеса, чтобы удостовериться, что он действительно использует теорему о среднем значении для вычислений и что это и вправду не срабатывает. Я даже не пытался обсуждать плохо выбранные статистические данные (а зачем наказывать страны за военные расходы не на ядерное оружие?) или недостоверное объяснение теоремы о среднем значении (автор настаивает, что для вычисления среднего нужны только минимум и максимум). Весь этот абзац напоминает погоню за эффектом на уровне Джуда Ванниски.

Это только усилило мое стремление найти ответ на вопрос: «Зачем, Дэвид Форест Уоллес, зачем?!»

Согласно тому, что писал сам Уоллес, математика – это нить, которая соединяет всю историю его жизни. «В детстве я выдумывал вещи, которые походят на упрощенные версии дихотомий Зенона, – однажды признался он, – и размышлял о них, пока не почувствовал себя буквально больным». Даже его способности к теннису сводились в конечном счете к математике. «Меня награждали как человека с незаурядными способностями к физической культуре, – писал Уоллес, – как чудо-мальчика, повелевающего ветром и жарой… отбивающего “атакующие свечи” с причудливыми и изысканными закрутами». Уоллес вспоминал свой родной город на Среднем Западе (Эрбана, штат Иллинойс) как гигантскую координатную плоскость:

Я вырос среди векторов, прямых и прямых, перпендикулярных прямым, сеток координат и – в масштабе горизонтов – широких кривых линий географической силы… Я мог на глаз вычертить диаграмму областей над и под этими широкими кривыми в том месте, где сходятся земля и небо, задолго до того, как дошел до чего-то формального вроде интегралов или скорости изменения. Математический анализ был буквально детской игрой.

Но, будучи студентом Амхерстского колледжа, он наткнулся на свое первое препятствие в области математики. «Однажды я чуть не провалил основной курс матана, – писал Уоллес, – и с тех пор преисполнился отвращения к традиционному высшему математическому образованию». Об этом он подробно рассказывал следующим образом:

Проблема с уроками математики в колледже, которые… практически полностью состоят из размеренного поглощения и переваривания абстрактной информации… в том, что их лежащая на поверхности неподдельная трудность может одурачить нас и заставить думать, что мы действительно что-то знаем, тогда как все, что мы «знаем» в реальности, – это абстрактные формулы и правила их использования. Во время лекций по математике очень редко говорят, имеет ли данная формула вообще какое-то значение, откуда она взялась или какова цена вопроса.

Я встречал студентов, которые разделяют это раздражение, что заставляет большинство из них искать конкретные примеры. Дэвид Фостер Уоллес остается Дэвидом Фостером Уоллесом, он бросился в противоположном направлении, к самым одурманивающим и абстрактным закоулкам этой науки. «В таких дисциплинах, как математика и метафизика, – разглагольствовал Уоллес, – есть то, что мы считаем одной из самых странных черт сознания среднего человека. Это способность постигать вещи, которые мы, строго говоря, не можем постичь». Как отметил математик Джордан Элленберг, «он влюбился в технику и аналитику».

Став профессиональным писателем, Уоллес продолжал возвращаться к обсуждению вопросов математики. В одном интервью он объяснил, что «Бесконечная шутка» повторяет структуру пользующегося дурной славой фрактала под названием «салфетка Серпинского».

Любовь Дэвида Фостера Уоллеса к математике достигает кульминации в эссе «Нечто и еще больше: компактная история бесконечности» (Everything and More: A Compact History of Infinity). Это насыщенный формулами и графиками труд в его любимой отрасли современной математики – теории бесконечности Кантора.

Если вы не поняли этого из заголовка романа «Бесконечная шутка», то Уоллес восхищался бесконечностью:

Это нечто вроде предела в попытках избежать подлинных ощущений. Возьмите одну-единственную самую распространенную и угнетающую черту этого конкретного мира – а именно, то, что все кончается, уходит и является ограниченным, – а затем абстрактно представьте нечто, не обладающее этой характеристикой.

Я читал «Нечто и еще больше…» сразу после книги Юджинии Чанг «За рамками вечности» (Beyond Infinity), и это привело к забавному наложению. Чанг – математик-исследователь – написала легкую, не отягощенную техническими подробностями научно-популярную книгу, наполненную аналогиями, в дружественной манере. Уоллес – романист – предпочел насадить непроходимые заросли сносок. И воспринимается это намного хуже. «Люди спрашивают, о ком именно думал Уоллес, когда писал, – размышлял философ Давид Папино в обзоре для The New York Times. – Если бы он убрал некоторые детали, пусть бы даже при этом пришлось рассказать меньше, чем он знает, то привлек бы гораздо больше читателей».

В этом как раз фишка Дэвида Фостера Уоллеса: он никогда, абсолютно никогда не рассказывает меньше, чем знает.

Кажется, по большей части Дэвида Фостера Уоллеса привлекали в математике именно те качества, которые отталкивают от нее других, причем, возможно, именно потому, что у других они вызывают неприязнь. «Современная математика, как пирамида, – писал он, – и ее широкое основание часто не вызывает веселья… Возможно, математика – типичный пример того, к чему сперва надо привыкнуть».

Возьмем, скажем, старшую двоюродную сестру теоремы о среднем значении: теорему о промежуточном значении. Мои студенты стараются рассматривать ее как сияющую очевидность, облаченную в одежды математического пустословия. В нормальных выражениях она говорит о том, что если в прошлом году ваш рост был 150 см, а в этом – 156 см, то где-то посередине был момент, когда ваш рост составлял 153 см.

Здесь ничего новенького.

В учебниках эта теорема представлена следующим образом: если функция f является непрерывной для всех значений х, причем а ≤ х ≤ b, а f (a) ≤ k ≤ f (b) или f (b) ≤ k ≤ f (a), то где-то существует некое значение с, такое, что a ≤ c ≤ b, а f (c) = k.

Почему целое цунами символов выражает такую несомненную вещь?

Надо сказать, что в XIX в. – том периоде, который Дэвид Фостер Уоллес рассматривал в «Нечто и еще больше…», – математиков начали занимать новые вопросы, связанные с бесконечностью. Какие суммы стремятся к разумному объяснению? А какие нет? Что мы действительно знаем и как мы это узнали? С педантичной осторожностью сообщество математиков пыталось найти пути перестройки математического анализа, обосновав его не геометрией или интуицией, а арифметическими неравенствами и точными алгебраическими положениями. Именно тогда теоремы о промежуточном значении и среднем значении вошли в моду. Если вы хотите шаг за шагом доказать каждый факт в математическом анализе, то эти теоремы необходимы.