Книга Время переменных. Математический анализ в безумном мире - Бен Орлин

Как бы все это могло выглядеть для нашего героя из Флатландии, неустрашимого, но несколько обескураженного Квадрата? Вспомните, в начале истории он не мог видеть третье измерение. И даже не мог представить его. Чтобы понять его рассказ о том, что представляет собой жизнь во Флатландии,

положите на какой-нибудь стол в своем Пространстве монету достоинством в один пенни и, наклонившись над столом, посмотрите на него сверху. Монета покажется вам кругом.

Приняв затем вертикальное положение, начните медленно приседать таким образом, чтобы луч вашего зрения постепенно приближался к поверхности стола (а вы сами все более и более приближались бы к состоянию обитателей Флатландии). Вы увидите, что монета перестанет казаться вам кругом и примет овальную форму. Когда же, наконец, луч вашего зрения совместится с поверхностью стола (а вы как бы станете флатландцем), то монета вообще перестанет быть овалом и покажется вам, как вы сможете убедиться, отрезком прямой.

Как трехмерные создания мы можем видеть в двух измерениях, наше поле зрения словно холст художника или экран кинотеатра. По тому же самому принципу двумерные обитатели Флатландии могут видеть в 1D. Их поле зрения – это линия горизонта, выше и ниже которой ничего нет.

Так как же тогда вы объясните третье измерение этому бедолаге? В романе все попытки Сферы кончаются ничем.

Я: Не могли бы вы, ваша милость, указать или объяснить мне, в каком направлении простирается неизвестное мне третье измерение?

Незнакомец: Я прибыл к вам из третьего измерения. Оно простирается вверх и вниз.

Я: Ваша светлость, по-видимому, хотела сказать к северу и к югу?

Незнакомец: Ничего подобного! Говоря о третьем измерении, я имел в виду направление, в котором вы не можете взглянуть, потому что у вас нет глаз сбоку.

Я: Прошу прощения, ваша светлость, но достаточно даже беглого взгляда, чтобы ваша милость могла убедиться: там, где сходятся две мои стороны, у меня расположено великолепное око.

Незнакомец: Не спорю, но для того, чтобы вы могли заглянуть в Пространство, вам необходимо иметь глаз, расположенный не на периметре, а на боку: на том месте, которое вы скорее всего назвали бы своей внутренностью. Мы в Трехмерии называем ее нашей стороной.

Я: Иметь глаз в своей внутренности! Глаз в собственном желудке! Ваша милость шутит[58].

Когда язык и интуиция подводят, остается только одно спасительное средство. Нет-нет, не горсти галлюциногенов. Я имею в виду математический анализ. Даже если Квадрат не может увидеть форму неожиданного визитера, он тем не менее может рассчитать объем незнакомца. Расчет интеграла не требует всеобъемлющей визуализации или непосредственного опыта. Нужна просто определенная квалификация.

Если есть сомнения, математика поможет.

В колледже друг рассказал мне о «Флатландии» как о книге, с помощью которой «ты ближе всего подойдешь к тому, чтобы действительно увидеть четвертое измерение». Этот переломный момент наступает в конце романа, когда Квадрат просит Сферу показать ему не только три измерения, но и четыре:

Подобно тому как вы превосходите все Фигуры, населяющие Флатландию, объединяя множество Окружностей в единое целое, должно существовать Нечто, объединяющее в себе множество Сфер в одну высшую сущность, превосходящую по своему совершенству все Тела, обитающие в Трехмерии. Мы, находясь сейчас в Пространстве, взираем на Флатландию сверху и свободно заглядываем внутрь всех предметов. Точно так же должна существовать некая более возвышенная, более чистая область…

Но Сфера отказалась принимать свое собственное лекарство.

– Что за чепуха! – закричала она. – Оставим глупые шутки!

Я должен признать, что симпатизирую Сфере. Если существует четвертое пространственное измерение, то наша трехмерная реальность составит бесконечно тонкий его ломтик. Визитер из четырехмерного мира появится из ниоткуда посередине комнаты и будет меняться в размерах, потому что мы сможем видеть только одно его поперечное сечение за раз – не само существо, а его бесконечно малый слой.

Я могу все это описать словами. Но не могу вообразить и изобразить.

Тем не менее иногда там, где не может помочь размышление, на помощь приходит математический анализ. Чтобы вычислить объем четырехмерной сферы, мне просто надо собрать бесконечную коллекцию трехмерных.

На это мне потребовалась целая страница формул и несколько твитов, которые можно назвать помощью от моих добрых интернет-приятелей. Но я сделал это.

Мои действия похожи на рассказ математика Стивена Строгаца о его собственных школьных днях:

Я был трудягой. Стиль у меня был жесткий. Я искал метод, чтобы разгрызть задачу. Если это было отвратительно, трудоемко или требовало многих часов алгебраических вычислений, я не возражал, потому что в результате честного изнурительного труда гарантированно появлялся правильный ответ. На самом деле я любил именно эту сторону математики. В ней была справедливость. Если ты правильно начал, усердно трудишься и все делаешь правильно, то может быть тяжело и утомительно, но логика убеждает тебя, что в конце ты победишь. Решение будет тебе наградой.

Для меня огромным наслаждением было видеть, как рассеивается алгебраический дым.

Именно это нам дарит математический анализ. Он подтверждает нашу веру в космическую справедливость, в то, что тяжкий труд будет вознагражден, а долгие часы утомительной работы в конце концов принесут победу. В этом случае, когда дым рассеется и вы увидите объем четырехмерной гиперсферы, это будет

Пожалуйста, обратите внимание, что единицами измерения являются метры в четвертой степени. Что это означает, я не знаю, но, зуб даю, Архимед не знал тоже. И это утешает меня.