Книга Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - Хаим Шапира

Хотите – верьте, хотите – нет!

Наши бледные рассуждения скрывают от нас бесконечное.

Джим Моррисон, The Doors

Каникулы алгебраических чисел в отеле Гильберта

Наша экспедиция в гостиницу Гильберта показала, что не всякое множество может в ней разместиться, хотя гостиница и бесконечна. Количество элементов множества всех чисел, заключенных между 0 и 1, оказалось слишком большим, чтобы все они смогли поселиться в гостинице.

Множество этих чисел несчетно-бесконечно, так как между ним и множеством натуральных чисел нет одно-однозначного и сюръективного соответствия. Существуют ли другие множества чисел, бесконечные, но несчетные, то есть такие множества, которые невозможно разместить в бесконечной гостинице?

Интересный пример множества этого типа дает множество неалгебраических чисел, которые мы сейчас определим. Но сначала проясним, что такое алгебраическое число.

Вспомним, что рациональное число – это число q, которое может быть записано в виде отношения двух целых чисел

Можно дать другое, эквивалентное определение: число q – рациональное число тогда, и только тогда, когда оно является решением уравнения «первой степени», а именно уравнения вида

где коэффициенты a и b – целые числа.

Ясно, что любое рациональное число

удовлетворяет равенству

и, следовательно, является решением уравнения первой степени

Например, число

является решением уравнения

Что же такое тогда алгебраическое число?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ЧИСЛА

Число считается алгебраическим, если оно является корнем (то есть решением) уравнения вида:

,

где все коэффициенты ak – целые числа.

Число, не являющееся алгебраическим, называют «трансцендентным числом».

Левая часть приведенного выше уравнения называется многочленом (или полиномом) n-й степени, если n не равно 0.

Из этого определения немедленно следует, что все рациональные числа относятся к числам алгебраическим. Однако есть и иррациональные алгебраические числа{30}. Вот несколько примеров:

√2 – алгебраическое число, так как является решением уравнения x² − 2 = 0.

Кубический корень из

– алгебраическое число, так как является решением уравнения

– алгебраическое число (но не вещественное число), так как является решением уравнения x² + 1 = 0.

Золотое сечение ϕ – алгебраическое число, так как является решением уравнения x² − x − 1 = 0.

Короче говоря, алгебраические числа «многочисленны», потому что «многочисленны» уравнения с многочленами вида

С учетом этого следующее утверждение может показаться несколько удивительным:

ТЕОРЕМА

Множество алгебраических чисел счетно.

Доказательство. Рассмотрим уравнение

Предположим, что an – положительное число. Если это не так, мы можем умножить все уравнение на (–1); получившееся уравнение будет иметь те же корни.

Подобно тому, как мы разбирались с расселением рациональных чисел в гостинице, определим для каждого многочлена «высоту» Н.

Символ |m| обозначает абсолютное значение (или модуль) числа. Если число положительно, его абсолютное значение равно ему самому: | 37 | = 37. Если число отрицательно, абсолютное значение становится положительным: |–234 | = 234.