Книга Симпсоны и их математические секреты - Саймон Сингх

Подобно физику из «Сумеречной зоны», Фринк рисует мелом на стене очертания портала. За происходящим наблюдают все, кто пришел предложить свою помощь: Нед Фландерс, Шеф Виггам, преподобный Лавджой и доктор Хибберт. Затем Фринк начинает объяснять загадочное событие: «Даже самому недалекому индивидууму, обладающему степенью магистра в области гиперболической топологии, очевидно, что Гомер Симпсон очутился в… третьем измерении».

Заявление Фринка предполагает, что персонажи сериала «Симпсоны» обитают в двумерном мире, а значит, им трудно понять концепцию третьего измерения. Хотя анимационная реальность Спрингфилда гораздо сложнее, поскольку мы постоянно видим, как Гомер и члены его семьи проходят позади или впереди друг друга, что было бы невозможно в двумерном пространстве в строгом смысле слова. Тем не менее в контексте этого фрагмента эпизода «Маленький домик ужасов на дереве» можно исходить из предположения, что Фринк прав, говоря о существовании в «Симпсонах» только двух измерений. Давайте посмотрим, как он объясняет концепцию большего количества измерений, рисуя при этом схему на доске.

Профессор Фринк. Вот обыкновенный квадрат.

Шеф Виггам. Помедленнее, яйцеголовый!

Профессор Фринк. Но предположим, мы достроим этот двумерный квадрат до нашей вселенной при помощи гипотетической оси z. Вот так.

Все. [Изумленно ахают].

Профессор Фринк. Тем самым образуется трехмерный объект, известный как куб, или фринкаэдр, – в честь того, кто его открыл.

Объяснения Фринка иллюстрируют связь между двумя и тремя измерениями. На самом деле этот подход можно использовать для объяснения связи между всеми измерениями.

В случае нулевой размерности мы имеем нульмерную точку, которую можно сдвинуть, скажем, в направлении x, чтобы получить путь, образующий одномерную линию, которую затем можно развернуть в перпендикулярном направлении y, чтобы создать двумерный квадрат. Именно с этого начинает свои объяснения профессор Фринк, так как двумерный квадрат можно сдвинуть в направлении z, перпендикулярном плоскости квадрата, и получить в итоге трехмерный куб (или фринкаэдр). И наконец, если не физически, то хотя бы математически можно пойти на шаг дальше и сдвинуть куб в еще одном перпендикулярном направлении (обозначенном как направление w), чтобы образовать четырехмерный куб. Куб в четырех (или более) измерениях известен как гиперкуб.

Схематический рисунок гиперкуба – это всего лишь эскиз, эквивалент контурного изображения, используемого для того, чтобы передать суть статуи Давида Микеланджело. Тем не менее контурное изображение гиперкуба позволяет выявить закономерность, которая помогает объяснить геометрию фигур в пространстве с четырьмя и более измерениями. Давайте проанализируем количество конечных точек, или углов (известных как вершины), имеющихся у каждого объекта, когда мы переходим от одного измерения к другому. Количество вершин подчиняется простой закономерности: 1, 2, 4, 8, 16, …. Другими словами, если d – это количество измерений, тогда число вершин равно 2d. Следовательно, десятимерный гиперкуб содержит 210 или 1024 вершины.

Несмотря на то что профессор Фринк хорошо разбирается в высоких размерностях, это, к сожалению, не помогает ему спасти Гомера, который продолжает бродить по своей новой вселенной. Это влечет за собой серию невероятных событий, которые заканчиваются посещением Гомером магазина эротических тортов. Во время своих приключений Гомер сталкивается с несколькими фрагментами математики, которые материализуются в трехмерном пространстве.

Например, вскоре после прохождения Гомера через портал вдали от него проносится на первый взгляд случайная последовательность чисел и букв: 46 72 69 6E 6B 20 72 75 6C 65 73 21. На самом деле эти буквы представляют собой числа в шестнадцатеричной системе счисления: в ней используются обычные цифры от 0 до 9, а также еще шесть цифр, обозначенных латинскими буквами от A до F: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 и F = 15. Каждая пара шестнадцатеричных цифр представляет символ в коде ASCII (сокр. от American Standard Code for Information Interchange – Американский стандартный код обмена информацией), который является протоколом конвертации букв и знаков препинания в числа, главным образом в компьютерных целях. Согласно протоколу ASCII, число 46 соответствует букве F, 72 – букве r и т. д. Если перевести таким образом всю последовательность, то получится смелое заявление, восхваляющее гиков: Frink rules! («Фринк рулит!»).

Через несколько мгновений в трехмерном пространстве благодаря сценаристу Дэвиду Коэну появляется еще один фрагмент математики:

1782¹² + 1841¹² = 1922¹²

Это еще одно ошибочное доказательство последней теоремы Ферма, наподобие созданного Коэном для эпизода «Волшебник Вечнозеленой аллеи», о котором мы говорили в главе 3. Эти числа тщательно подобраны таким образом, чтобы обе стороны уравнения были почти равны. Если сравнить сумму первых двух степеней с третьей степенью, результат окажется точным до первых девяти цифр, выделенных жирным шрифтом:

1 025 397 835 622 633 634 807 550 462 948 226 174 976 (1 782¹²)

+ 1 515 812 422 991 955 541 481 119 495 194 202 351 681 (1 841¹²)

= 2 541 210 258 614 589 176 288 669 958 142 428 526 657

≈ 2 541 210 259 314 801 410 819 278 649 643 651 567 616 (1 922¹²)

Это означает, что расхождение между левой и правой частями уравнения составляет всего 0,00000003 процента, но это более чем весомый аргумент, чтобы считать данное решение уравнения ошибочным. На самом деле есть быстрый способ определить, что 1782¹² + 1841¹² = 1922¹² – ложное решение, не прибегая к громоздким вычислениям. Для этого достаточно обратить внимание на присутствие в уравнении четного числа (1782), возведенного в двенадцатую степень, которое в сумме с нечетным числом (1841), также возведенным в двенадцатую степень, предположительно равно четному числу (1922) в двенадцатой степени. Здесь четность и нечетность играют большую роль, поскольку нечетное число, возведенное в любую степень, всегда дает только нечетный результат, тогда как четное число, возведенное в любую степень, дает исключительно четный результат. Исходя из того, что сумма нечетного и четного числа всегда нечетная, левая сторона равенства может быть только нечетной, тогда как правая должна быть четной. Таким образом, очевидно, что это ошибочное решение:

четное¹² + нечетное¹² ≠ четное¹²

Моргните – и пропустите еще пять намеков на нердовские штучки, которые проплывают мимо Гомера в трехмерной вселенной. Первый – вполне безобидный обычный чайник. Почему же он нердовский? Когда в 1975 году один из пионеров компьютерной графики Мартин Ньюэлл из Университета штата Юта решил сгенерировать на компьютере какой-то объект, он выбрал именно этот предмет быта. Чайник был достаточно простым объектом, но в то же время содержал довольно сложные элементы, такие как ручка и кривые поверхности. С тех пор так называемый чайник из Юты стал отраслевым стандартом для демонстрации возможностей компьютерной графики. Именно такой чайник присутствует в сцене с чайной вечеринкой в мультфильме «История игрушек» (Toy Story), в спальне Бу из мультфильма «Корпорация Монстров» (Monsters, Inc.), а также еще в нескольких фильмах.