Книга Быстрая математика: секреты устного счета - Билл Хэндли

решить еще один пример:

1/3 х 1/4 =

(Мы, по сути дела, спрашиваем: «Сколько будет четверть от одной трети или треть от одной четверти?»)

1 х 1 = 1 (числитель)

3 х 4 = 12 (знаменатель)

1/12 ОТВЕТ

Решим еще один пример:

2/3 x 1/2 =

Перемножим числители:

2 х 1 = 2

Затем знаменатели:

3 х 2 = 6

В ответе получаем дробь 2/6, которую можно сократить 1/3

Опять-таки, можно сразу догадаться, если спросить себя: с каким количеством третей мы имели дело с самого начала? С двумя. Теперь надо узнать, сколько будет половина от двух третей. Половина от 2 равна 1, поэтому ответом будет одна треть.

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) 1/2 x 1/3 = __; б) 1/2 х 1/5 = __; в) 2/3 х 2/5 = __; г) 1/12 х 1/14 = __

Чтобы решить последний пример, используйте метод умножения в уме чисел, которые больше 10, но меньше 20.

Ответы:

а) 1/6; б) 1/10; в) 4/5; г) 1/182

А как нам умножить 11/2 на 31/4?

Для начала мы преобразуем каждый множитель из смешанного числа в неправильную дробь. Смешанным называется число, содержащее как целую, так и дробную часть. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя. 1

Чтобы перевести 11/2 в неправильную дробь, надо умножить целую часть (1) на знаменатель дробной части (2) и прибавить результат (2) к числителю дробной части (1), получая числитель неправильной дроби (3). Ответ: 3/2. (Полтора — это то же самое, что и три половины.)

Для того чтобы понять механизм перевода смешанного числа в неправильную дробь, посмотрим на 1 и половину. Сколько половин содержится в 1? Ответ прост: 2. Плюс одна половина, обозначаемая дробью, что дает в сумме 3 половины.

Проделаем то же самое с 31/4. Умножим целую часть (3) на знаменатель дробной части (получаем 12/4) и прибавим результат к числителю дробной части (1). Ответ: 13/4. Теперь можно записать исходный пример так:

3/2 х 13/4 =

Перемножим числители: 3 х 13 = 39. Получили числитель искомой дроби. Теперь перемножим знаменатели:

2 х 4 = 8.

Ответ: 39/8.

Как нам снова преобразовать ответ в смешанное число?

Для этого разделим 39 на 8. Ответом будет 4 (8 х 4 = 32) с остатком 7.

Получаем: 39/8 = 47/8.

А что, если вам нужно умножить целое число на дробь?

Попробуем перемножить 7 и 3/4. Это можно выразить по-другому: «Сколько будет три четверти от 7?» Три четверти от 8 равны 6, поэтому наш ответ будет немного меньше 6.

Выразим 7 в виде дроби, а именно: 7/1.

7/1 х 3/4 =

7 х 3 = 21

1 х 4 = 4

21/4 ОТВЕТ

Чтобы перевести ответ в смешанное число, разделим 21 на 4 и получим 51/4. (21 делится на 4 пять раз с остатком 1.)

Деление дробей

Чтобы найти половину любого числа, необходимо разделить его на 2. Например, половина от 6 равна 3. Это можно записать следующим образом:

6/1 х 1/2 = 3

Или же можно выполнить одно из следующих действий:

6: 2 = 3

6/1: 2/1 = 3

Правило такое:

Чтобы разделить число на дробь, ее необходимо перевернуть, то есть поменять местами числитель и знаменатель, а затем умножать число на полученную дробь.

6: 1/4 = 6 х 4/1 = 24

Выразить иначе это можно так: «Сколько четвертей можно получить из шести апельсинов?» Вы делите 6 апельсинов на четверти и в итоге получаете 24 четверти — достаточное количество, чтобы угостить всех игроков (вместе с запасными), тренера и массажиста, и при этом пару штук еще останется.

Разделив 2 торта на кусочки величиной в одну шестую (1/6), вы получите 12 кусочков. В итоге вы смогли бы угостить тортом 12 человек.

Таким образом, 2 при делении на 1/6 дает 12.

Вычисление выглядит следующим образом:

2: 1/6 = 2/1 х 6/1 = 12/1

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) 1/3: 3/4 = __; б) 7/8: 2/3 = __; в) 2/7: 4/5 = __

Ответы:

а) 4/6; б) 21/16; в) 5/14

в) Третий пример решается так:

2/7: 4/5 = 2/7 х 5/4

2 х 5 = 13 (числитель)

7 х 4 = 28 (знаменатель)

Ответ: 10/28. Оба — и числитель, и знаменатель — являются четными числами, поэтому мы можем разделить их на 2, получив в качестве окончательного ответа 5/14.

Глава 22

Прямое умножение

Простой способ найти произведение чисел, для которых трудно сходу подобрать подходящее опорное число, предлагает так называемое прямое умножение. Это обычный метод, используемый людьми, которые молниеносно считают в уме.

Например:

36 х 72 =

Вот каким образом следует представить себе данную задачу, когда человек взялся решать ее в уме:

Вычисление следует вести слева направо, начав с произведения 70 на 30. Перемножаем 7 и 3 и умножаем ответ на 100. (На практике следует перемножить 7 и 3, а затем приписать два нуля к результату.)

7 х 3 = 21

21 х 100 = 2100

Это наш первый промежуточный результат. Теперь перемножаем накрест: 7 х 6 и 3 х 2, а затем суммируем результаты умножения.

7 х 6 = 42

3 х 2 = 6

42 + 6 = 48

Умножим последний результат на 10 и прибавим к нашему промежуточному результату.

48 х 10 = 480

2100 + 480 = 2580

Если вы скажете про себя: «Две тысячи сто плюс четыреста. две тысячи пятьсот, плюс восемьдесят. две тысячи пятьсот восемьдесят», то у вас не будет проблем с выполнением всего расчета в уме.

Теперь перемножим цифры единиц. Произведение 6 х 2 равно 12. Прибавим 12 к нашему текущему промежуточному результату и получаем в ответе 2592.

2580 + 12 = 2592 ОТВЕТ

Ведя расчет слева направо, мы получаем приближенное значение ответа после первого шага. С каждым шагом мы получаем все более точный ответ.

При этом все вычисления могут выполняться в уме.

Попробуем решить другой пример:

34 х 73 =

Представляем задачу следующим образом:

Умножаем: 7 х 3 = 21, плюс два нуля (поскольку речь идет о разряде десятков), получаем промежуточный результат 2100.

Теперь перемножаем накрест и складываем:

(3 х 3) + (7 х 4) =

9 + 28 = 37