Книга Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Алекс Беллос

Пика убежден: понимание величин в терминах их примерных оценок — врожденное свойство нашего интуитивного восприятия. Действительно, люди незнакомые с числами — например, индейцы и маленькие дети — просто не умеют воспринимать мир иначе. Напротив, восприятие величин в терминах точных значений — не врожденное свойство, а продукт культуры. По мнению Пика, ведущая роль, исходно отводимая приближениям и оценкам по сравнению с точными значениями, определяется тем, что оценки гораздо важнее для выживания в дикой природе, чем способность к точному счету. При неожиданной встрече с вооруженными копьями врагами требуется немедленно оценить — кого больше — своих или чужих. При взгляде на два дерева требуется сразу оценить, на каком из них больше плодов. Ни в том ни в другом случае нет необходимости в пересчете всех врагов или всех плодов по отдельности. Ключевой момент состоит в способности быстро оценить приближенное количество.

Логарифмическая шкала также хорошо отвечает нашему восприятию расстояния (и, возможно, поэтому оно выглядит столь противоречащим интуиции). Она учитывает законы перспективы. Например, если мы смотрим на дерево, находящееся на расстоянии 100 метров от нас, и на другое дерево, находящееся в 100 метрах позади первого, то вторые 100 метров кажутся короче. Для мундуруку идея о том, что каждые 100 метров должны выглядеть как одно и то же расстояние, отражает их искаженное восприятие окружающего мира.

Итак, точные числа отвечают линейной шкале, противоречащей нашему интуитивному логарифмическому восприятию. В самом деле, наше совершенное владение точными числами означает, что логарифмическое восприятие в большинстве ситуаций оказывается подавленным. Но оно не исчезло вовсе. Мы существуем, сохраняя как линейное, так и логарифмическое восприятие величин. Например, чувство времени часто логарифмическое. Я помню, в детстве годы проходили медленно, а сейчас они просто летят. И наоборот — бывает, кажется, вчерашний день длился намного дольше, чем вся последняя неделя. Глубоко встроенный в нас логарифмический инстинкт проступает наружу наиболее явственно, когда дело доходит до очень больших чисел. Например, всем понятно различие между единицей и десятью. Исключительно маловероятно, чтобы мы спутали пинту пива с десятью пинтами пива. А как насчет различия между миллиардом галлонов воды и десятью миллиардами галлонов воды? Несмотря на то что разница колоссальна, мы склонны воспринимать обе этих величины как довольно близкие — просто как очень большое количество воды. Подобным же образом словами «миллионер» и «миллиардер» бросаются почти как синонимами, как если бы не было особой разницы между очень богатыми и очень-очень богатыми. Однако же миллиардер в тысячу раз богаче миллионера. Чем больше становятся числа, тем более близкими (тесно сидящими на шкале) они воспринимаются.

Тот факт, что Пика временно позабыл, как пользоваться числами, проведя всего лишь несколько месяцев в джунглях, говорит о том, что наше линейное восприятие чисел укоренилось в наших головах не столь глубоко, как логарифмическое. И вообще — наше восприятие чисел на удивление хрупко, и именно поэтому, не пользуясь им регулярно, мы теряем способность обращаться с точными числами и возвращаемся на базисный уровень интуитивного восприятия, когда количества понимаются приблизительно, то есть просто оцениваются.

Пика считает, что как его собственные исследования математического интуитивного восприятия, так и исследования других ученых могут иметь серьезные последствия для развития математического образования — будь то в Амазонии или в цивилизованном мире. Нам требуется понимание линейной числовой прямой для успешного функционирования в современном обществе, поскольку именно на этом основаны все измерения и это облегчает вычисления. Но в своей зависимости от линейности не зашли ли мы слишком далеко, подавляя врожденное логарифмическое восприятие? Вероятно, сказал Пика, в этом и состоит причина того, почему столь многим людям математика представляется трудной для понимания. Вероятно, следует уделять больше внимания оценкам величин, а не действиям с точными значениями. И тогда учить представителей племени мундуруку считать так же, как это делаем мы, возможно, и неправильно, поскольку кто знает, а вдруг это лишит их врожденного математического восприятия величин и знаний, необходимых для выживания в их мире?

* * *

Интерес к математическим возможностям тех, у кого нет слов или символов для чисел, традиционно концентрировался вокруг животных. Одним из самых известных объектов исследований была лошадь рысистой породы по кличке Умный Ханс. В начале 1900-х годов в одном берлинском дворике регулярно собирались толпы, чтобы взглянуть, как хозяин Ханса — вышедший на пенсию преподаватель математики Вильгельм фон Остен — задавал лошади простые арифметические примеры. Ханс отвечал, стуча копытом по земле правильное число раз. В его репертуаре были сложение и вычитание, а также дроби, квадратные корни и разложение на множители. Популярность Ханса напополам с подозрением, что демонстрируемые умственные способности лошади являются результатом какого-то фокуса, привели к тому, что в дело вмешалась комиссия из известных ученых. Они пришли к выводу, что — jawohl! — Ханс и вправду выполнял математические действия. Чтобы разоблачить этого лошадиного Эйнштейна, потребовалось вмешательство менее известного, но более скрупулезного психолога Оскара Пфюнгста. Ученый обратил внимание на то, что Ханс воспринимает мимику фон Остена. Ханс начинал стучать по земле копытом и останавливался, только когда замечал, что выражение лица хозяина изменилось, — это означало, что Ханс добрался до ответа. Ханс оказался восприимчив к самым тонким зрительным сигналам, таким как наклон головы, подъем бровей и даже расширение ноздрей. Фон Остен и сам не подозревал, что производит все эти знаки.

Урок, преподнесенный Умным Хансом, состоит в том, что при обучении животных счету следует самым тщательным образом позаботиться о том, чтобы исключить невольные подсказки и побуждения со стороны людей. В том, что касается математического образования Аи — шимпанзе, привезенной в Японию из Западной Африки в конце 1970-х годов, — вероятность подсказок со стороны людей была исключена, потому что обучение проходило с использованием компьютера с сенсорным экраном.

Аи сейчас 31 год, она живет в Институте исследования приматов в Инуяме — туристическом городке в Центральной Японии. У обезьяны высокий лысеющий лоб, на подбородке — седая щетина. Она смотрит глубоким взглядом темных глаз, присущим всем приматам среднего возраста. О ней говорят как об «ученице» и никогда как об «объекте исследования». Каждый день с Аи проводят занятия, во время которых ей дают задания. Аи приходит ровно в 9 утра, проведя ночь с другими шимпанзе в открытом вольере на напоминающей дерево гигантской конструкции из бревен, металлических труб и веревок. В тот день, когда я увидел Аи, она сидела, наклонившись к компьютеру, и тыкала пальцами в последовательности цифр, появлявшихся на экране. Когда она правильно выполнила задание, справа от нее из трубки выпал квадратный кусочек яблока размером около сантиметра. Аи схватила его и немедленно слопала. Отсутствующий взгляд, бестолковое постукивание по мигающему и гудящему компьютеру, рутинное поощрение, которое дозированно ей подбрасывалось, — Аи была похожа на пожилую леди, поглощенную игрой на игровом автомате.