Книга Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - Хаим Шапира

Администратор попыталась изобрести другое решение, но так ничего и не добилась. В конце концов она решила обсудить эту проблему с портье, Эпсилоном. Может быть, совместными усилиями им удастся найти какое-нибудь решение? Но и это не помогло.

Не видя другого выхода, Омега решила обратиться за помощью к Сигме и Лямбде. До поступления на работу в гостиницу обе они прослушали спецкурсы по алгебраической топологии и функциональному анализу.

– Поселить их здесь совсем не трудно, – заявили сестры. – Когда мы проходили теорию множеств, эта задача была первым упражнением, которое нам задали. Вот как она решается. Числа 0 и 1 останутся там, где они живут сейчас, на первом и втором этажах. Все остальные числа переедут в номера, соответствующие их удвоенным значениям. То есть число 2 переселится в номер 4, число 3 – в номер 6, число 4 будет наслаждаться уютом номера 8 и так далее и так далее. Тогда все нечетные номера (3, 5, 7, 9…) освободятся, и у нас получится бесконечное количество незанятых номеров. Мы сможем разместить всех постояльцев.

Омега пришла в такой восторг от предложения изобретательных сестер, что повесила в холле гостиницы следующее объявление:

Пустых номеров нет. Гостиница полностью занята.

Есть свободные номера. У нас всегда найдется место.

Так все и случилось. Когда приехали отрицательные числа, все удалось как нельзя лучше. Их расселили по номерам без каких бы то ни было затруднений, и гостиница стала выглядеть следующим образом:

Сейчас я объясню новое распределение номеров. 0 остался в номере 1, в котором он и жил до приезда отрицательных чисел. Все остальные положительные целые числа оказались в номерах, соответствующих их удвоенным значениям. Например, число 3 поселилось в номере 6, а число 111 – в номере 222.

Каждому отрицательному числу достался номер, соответствующий значению постояльца, умноженному на (–2) плюс 1. Таким образом, число –1 оказалось в номере 3, а число –17 – в номере (–17) × (–2) + 1 = 35.

Следующая неделя была спокойной и для гостиницы, и для ее постояльцев.

Когда отрицательные числа выехали из гостиницы, 0 решил уехать вместе с ними. После их отъезда Омега, к удивлению своему, обнаружила, что натуральные числа, некогда полностью занимавшие гостиницу, теперь заполняют только половину ее: занятыми остались только четные номера. Собственно говоря, теперь она могла сократить расходы, уволив Сигму, которая отвечала за обслуживание нечетных номеров, оказавшихся теперь совершенно пустыми. Правда, Сигма помогла ей решить проблему с размещением отрицательных чисел, не говоря уже о том, что Омеге казалось неправильным разлучать сестер. Однако факт оставался фактом: так или иначе, хотя в гостинице оставалось точно такое же количество постояльцев, которое раньше занимало ее полностью, ее заполненность упала до 50 процентов!

«Тут происходит что-то странное, – подумала Омега. – Что же случится, – задумалась она, постепенно начиная беспокоиться, – если число 1 переселится в номер 10, число 2 – в номер 20, число 3 – в номер 30 и так далее? Заполненность гостиницы упадет до 10 процентов, хотя из нее не выедет ни один из постоянных жильцов! Все натуральные числа по-прежнему будут на месте, и тем не менее уровень заполненности будет таким низким, что меня, того и гляди, уволят!»

Все еще обдумывая эту ужасную мысль, она вспомнила, что через две недели в гостинице должна пройти важная конференция под названием «Положительная рациональность в эпоху рациональной положительности», и все ее участники – то есть все положительные рациональные числа – должны будут провести в гостинице три положительно рациональных дня.

«Мы без труда найдем место для всех, – сказала себе Омега. – Гостиница стоит полупустой, и в ней имеется бесконечное количество свободных номеров».

Однако спокойствие Омеги было недолгим. Внезапно на нее нахлынули тревожные мысли. Омега осознала, что рациональные числа со знаменателем 2 могут полностью занять гостиницу, если дробь 1/2 поселится в номере 1, дробь 2/2 – в номере 2, дробь 3/2 – в номере 3 и так далее. Но в то же время точно таким же образом могут занять всю гостиницу и рациональные числа со знаменателями, равными 3, 4 или любым другим числам: 1/3 – в номере 1, 2/3 – в номере 2, 3/3 – в номере 3… Другими словами, на конференцию приедет бесконечное количество бесконечных множеств, и любое из них может занять всю гостиницу целиком. Не говоря уже о том, что даже до их прибытия гостиницу уже занимает бесконечное количество натуральных чисел (1, 2, 3, 4…).

Администратор попыталась рассмотреть другие возможные варианты: например поселить 1 в номере 1, 2 – в номере 1001, 3 – в номере 2001…, а затем предоставить числу 1/2 номер 2, числу 2/2 – номер 1002, числу 3/2 – номер 2003 и так далее. Однако она быстро поняла, что и этот план не дает решения проблемы (объясните, почему этот вариант не работает).

Поскольку Омеге было неловко еще раз беспокоить Лямбду и Сигму – в их профессиональные обязанности входила уборка номеров, а не советы по стратегическим вопросам, – она решила (поскольку у нее не было особого выбора) обратиться за помощью к главному математику системы Апейрон (в которой находится планета Проксима-Инфинитас) профессору Финкельштейну-Островскому-Канторовичу.

Пожилой, но энергичный профессор заявил, что проблема только кажется сложной, но на самом деле это не так:

– Благодаря человеку по имени Евклид, который жил когда-то на очень отдаленной маленькой голубой планете под названием Земля, эту задачу можно решить сравнительно легко, – сказал профессор с тройной фамилией.

– Что же сделал этот Евклид? – спросила администратор гостиницы.

– Он доказал, что количество простых чисел бесконечно, – ответил профессор.

– И как это поможет нам найти номера для всех постояльцев? – спросила Омега, явно сомневавшаяся в наличии какой бы то ни было связи между бесконечной природой простых чисел и возможностью организовать размещение всех участников конференции.

– Я объясню как можно проще, – пообещал Финкельштейн-Островский-Канторович. – Тот факт, что простых чисел существует бесконечно много, позволяет нам получить весьма простое решение задачи размещения всех рациональных чисел. Вот план наших действий. Мы будем распределять их по номерам, соответствующим простым числам, возведенным в последовательные степени, а именно:

Первое простое число – 2. Мы поселим число 1 в номере 2, а число 2 – в номере 2², число 3 получит номер 2³, число 4 будет жить в номере 24… и так далее. Следующее простое число – 3, – продолжал профессор. – Поэтому дробь 1/2 поселится в номере 3, 2/2 – в номере 3², 3/2 – в номере 3³, 4/2 – в номере 34 и так далее.

– Но ведь 2/2 равно 1, а число 1 уже живет в номере 1, – задумалась администратор гостиницы.