Книга Совершенная строгость. Григорий Перельман. Гений и задача тысячелетия - Маша Гессен

Так кто же такой Перельман? Человек, которому никогда не попадалась задача, которую он не мог решить. Возможно, работа над пространствами Александрова, которой он был занят в Беркли, стала исключением и Перельман в самом деле тогда застрял. Но возможно, однако, что это был единственный раз, когда он попытался сделать нечто, чтобы взойти с третьей на вторую или даже первую ступень математического Олимпа.

Третья категория сильно напоминает решение олимпиадных задач. Не только само задание было четко сформулировано, но и дополнительные условия: путь к решению, который наметил Гамильтон. Итак, это была очень, очень сложная олимпиадная задача — ее нельзя было решить за несколько часов, недель или даже месяцев. Это была задача, которую, возможно, не мог решить никто, кроме Перельмана, а Перельман как раз искал такую задачу, чтобы заставить работать свой мозг на полную мощность.

Перельману удалось доказать две основные вещи. Во-первых, он показал, что Гамильтону не нужно было предполагать, что кривизна всегда будет одинаковой: в воображаемом пространстве, в котором применяется доказательство, это и так будет всегда верно. Во-вторых, Перельман показал, что все сингулярности, которые могут возникнуть в процессе деформации, имеют одинаковую природу и могут появиться, когда кривизна начинает неуправляемо раздуваться. Поскольку все сингулярности имеют единую природу, для устранения их всех нужен один инструмент — хирургия, предложенная Гамильтоном. Более того, Перельман доказал, что некоторые сингулярности, о которых говорил Гамильтон, вообще не появятся.

В перельмановой доказательной логике есть нечто забавное, отчасти ироничное. Перельман преуспел благодаря непостижимой способности своего ума охватывать весь широчайший спектр возможностей. Он имел все основания утверждать: он знает все, что может случиться с объектом по мере его деформации. И, зная это, он смог исключить некоторые сценарии как невозможные. Рассуждая о воображаемом четырехмерном пространстве, он ссылался на то, что может и что не может произойти "в природе". По сути, Перельману в математике удавалось то, что он пытался делать в жизни: охватить все возможности, существующие в природе, и отбросить все, что выходит за рамки естественного — будь то голоса кастратов, автомобили, антисемитизм или еще какие неудобные сингулярности.

Глава 9. Решение

Дата: Tue, 12 Nov 2002 05:09:02 -0500 (EST) От: Григорий Перельман Кому: [несколько адресатов] Тема: Новый препринт

Уважаемый [имя]/

Позвольте обратить Ваше внимание на мою статью math.DG 02111 $9, размещенную на сайте arXiv.

Аннотация

В настоящей статье вводится величина, монотонно изменяющаяся в силу потока Риччи в любой размерности и без дополнительных предположений о кривизне. Она (эта величина) интерпретируется как энтропия некоторого канонического ансамбля. Приведены несколько геометрических приложений. Так, (1) поток Риччи на пространстве римановых метрик, рассматриваемых с точностью до диффеоморфизма и масштабирования, не имеет нетривиальных, т.е. отличных от неподвижных точек, периодических орбит;(2) в области, где сингулярности возникают за конечное время, радиус инъективности контролируется кривизной; (3) поток Риччи не может быстро преобразовывать почти евклидову область в сильно искривленную область, вне зависимости от того, что происходит на отдалении. Мы также проверяем несколько утверждений программы доказательства гипотезы геометризации Терстона для замкнутого трехмерного многообразияу предложенной Ричардом Гамильтоном. Мы даем набросок доказательства этой гипотезы, использующего предшествующие результаты о коллапсировании с локальной нижней оценкой кривизны.

С наилучшими пожеланиями Гриша.

Такое письмо получила примерно дюжина американских математиков. Я уже упоминала, что днем ранее Перельман разместил статью на сайте arXiv.org, который принадлежит библиотеке Корнельского университета и создан для быстрого обмена информацией между учеными. Этот текст был первым из трех препринтов, содержащих результаты семилетней войны Перельмана с гипотезой Пуанкаре и гипотезой геометризации.

"Я начал читать статью, — рассказал мне Майкл Андерсон. — Хотя я не специалист по потокам Риччи, мне стало понятно, что Перельман сделал большой шаг вперед, что решение гипотезы геометризации и, следовательно, гипотезы Пуанкаре у меня перед глазами". Каждый, кто получил письмо Перельмана, годами сражался с одной из этих задач. Реакция каждого из них на новости оказалась противоречивой. С одной стороны, если российскому математику в самом деле удалось доказать обе гипотезы, то это грандиозное достижение, вызывающее восторг. С другой стороны, это достижение принадлежит другому и разрушает твою надежду на успех.

Андерсон посвятил доказательству гипотезы геометризации почти десять лет и, как он сказал мне, "погряз в технических деталях. Я продолжал надеяться на какое-то озарение, на прорыв, понимая, что этого не случится. Раз это кто-нибудь сделал, хорошо, что этим человеком оказался

Гриша. Мне он нравился. На следующий день я пригласил его приехать сюда, и, к моему удивлению, еще через день он согласился".

Тем временем американские и европейские топологи начали обмениваться ворохами электронных писем. Майкл Андерсон отправил несколько посланий такого содержания:

Здравствуйте, [имя]/ Надеюсь, у Вас все в порядке.

Не знаю, заметили ли Вы, что Гриша Перельман опубликовал статью о потоках Риччи по адресу: mathDG/0211159. Вы и Ваши коллеги занимаетесь этой проблематикой и, возможно, захотите взглянуть на этот текст. Гриша — очень необычный и очень способный человек. Я встретил его около девяти лет назад. В начале 1990-х мы много говорили о потоках Риччи и гипотезе геометризации трехмерных многообразий. Вчера, как гром среди ясного неба, от него пришло электронное письмо, в котором он сообщил о публикации своего препринта.

Я знаю о потоках Риччи недостаточно, однако мне кажется, что Гриша в своей статье решил многие фундаментальные задачи, которые прежде не мог решить никто. Похоже, что он вплотную приблизился к достижению цели, поставленной Гамильтоном, то есть доказательству гипотезы геометризации Терстона. Идеи кажутся мне новыми и очень оригинальными. Это очень похоже на Гришу. Он решил несколько неординарных задач в других областях математики в начале 1990-х, а после исчез из виду. Теперь, видимо, он вернулся.

Так или иначе, я хочу известить Вас об этом, а также попросить держать меня в курсе дискуссий (слухов) по поводу работы Перельмана. Разумеется, я хотел бы знать, насколько он близок к доказательству гипотезы Терстона (это касается и моей работы). Думаю, что статья Перельмана верна — я могу предположить это, поскольку знаю Гришу. Я отправил аналогичные письма нескольким своим знакомым, работающим над потоками Риччи.

С наилучшими пожеланиями Майкл.

Тем, кто не слышал прежде о Григории Перельмане, простительно не относиться к его статье серьезно. Заявки на доказательство гипотезы Пуанкаре появлялись регулярно, но почти за сто лет эту задачу никто не решил: все, даже маститые математики, включая самого Анри Пуанкаре, ошибались. Все заявки на доказательство, появлявшиеся каждые несколько лет, рано или поздно оказывались несостоятельными. Поэтому, чтобы сразу и всерьез принять заявку Перельмана, нужно было хорошо его знать — знать о том, например, что он никогда не позволяет себе "липу", как говорили в кружке Рукшина, и о том, насколько выверены и хорошо подготовлены все его публичные действия.