Книга Время переменных. Математический анализ в безумном мире - Бен Орлин

Можем ли мы из этой информации определить, как менялось положение машины, то есть как быстро она двигалась? Разумеется! Пройденное расстояние – это просто область под кривой. Этот процесс называется интегрированием или взятием интеграла.

Таким образом, производная и интеграл – поиск угла наклона кривой и поиск области под ней – противоположны друг другу. Первая извлекает одно мгновение из потока времени, второй восстанавливает поток, собирая его по капле.

Но это мое объяснение, а не то, которое дала Аньези. Молодая женщина из XVIII в. не ездила на автомобилях. На самом деле в своей книге она вообще отказалась от каких-либо физических объяснений.

Не то чтобы Мария была безразличной или небрежной учительницей. Однажды, когда отец заставил ее во время послеобеденных посиделок читать наводящую ужас научную лекцию, она извинилась перед гостями, сказав, что «не любит публично говорить о таких вещах, когда на одного увлеченного человека приходится двадцать умирающих от скуки». Нельзя сказать и что она не любила физику саму по себе, – черт возьми, в ней она была местным знатоком. Так почему же она отказалась от примеров из физики, которые помогают сделать математический анализ конкретным и наполнить его смыслом? Неужели братья никогда не спрашивали ее о том, как «это можно приложить к реальному миру» и не задавали вопрос: «А как нам это использовать?»

Может, они это и делали, но для Аньези математика не была связана с практикой. Это был священный путь к Богу. Чистое логическое мышление давало человечеству опыт познания божественного, приближения к вечной истине. Для такого набожного человека, как Аньези, только это имело значение. Зачем же марать небесное земным, геометрию физикой?

Рафинированный подход Аньези дал жизнь бессмертному творению. «Терминология и условные обозначения настолько хорошо подобраны и современны, – пишет историк математики Хоакин Наварро, – что не надо добавлять ни одной запятой, чтобы они стали понятны современному читателю». Чтобы оценить точку зрения Аньези на фундаментальную теорему математического анализа, рассмотрим интеграл как сумму бесчисленных крошечных прямоугольников, размещенных под кривой графика.

Производная измеряет изменение всей этой области, другими словами, размер последнего прямоугольника, который присоединился к линии горизонта.

Но учитывая бесконечно малое dx, размер этого прямоугольника всего лишь высота кривой.

Это значит, что если вы (1) начнете с кривой, (2) интегрируете ее и (3) дифференцируете, то вернетесь к тому, с чего начали. Хотя это кажется непохожим на наш разговор об автомобиле выше – эти два примера иногда рассматривают как «первую фундаментальную теорему» и «вторую фундаментальную теорему», – обе дороги ведут в одном направлении. Опять же, производные и интегралы действуют, как яд и антидот или карандаш и ластик.

Согласно фундаментальной теореме, весь математический анализ – это один гигантский символ инь-ян.

Аньези понимала единство противоположностей лучше, чем кто-либо другой. Только посмотрите, какие тождественные сущности она воплотила: математику и мистику, католическую традицию и зачатки феминизма, изучение науки и религии. Она даже соединила самых ярых противников – Ньютона и Лейбница, чья вражда все еще горела ярким пламенем, когда Мария приступала к своей книге. Как никто другой, Аньези сумела объединить флюксии англичанина с дифференцированием немца, добившись такого идеального слияния, что один из кембриджских профессоров математики срочно выучил итальянский, чтобы перевести ее шедевр на английский.

Мария не воспринимала ничего из вышеперечисленного как противоречие. Маззотти пишет, что «само по себе отнесение науки и религии к противоборствующим силам для Аньези не имело смысла». Это наша эпоха разделила разум и веру. Аньези думала по-другому.

В 1801 г., когда нетерпеливый профессор из Кембриджа переводил ее книгу, он ошибочно принял слово versiera (термин, который моряки используют для обозначения паруса) за его омоним, сокращение от avversiera (ведьма). Таким образом, математический график определенного вида стал известен англоговорящим читателям как «ведьма Аньези». Это навеки сохранилось как свидетельство гениальности Марии и недостатков любительского перевода.

Сегодня фундаментальная теорема математического анализа, возможно, самое сильное и широко распространенное упрощение в математике. С ним интеграл – эта утонченная сумма бесконечного количества стремящихся к нулю частей – становится просто антипроизводной. Мы можем забыть замысловатые линии крыш Римана, искусные преобразования Лебега, геометрические маневры Евдокса и Лю Хуэя. Это просто обратная сторона производной. Мы словно много лет регулярно взламывали дверь, чтобы попасть в дом, и, наконец, узнали о существовании ключей.

Но не этим прославилась Аньези. «Для нее математический анализ был способом отточить разум так, чтобы он мог по достоинству оценить Господа, – пишет Маззотти. – Она верила в рассудочную духовность, а не в нелепую набожность или порожденное воображением суеверие». Через этот трезвомыслящий взгляд мы получаем лучшее представление о математическом анализе – дисциплине одновременно практической и по своей природе прекрасной.

В этом смысле нас всех можно отнести к итальянской молодежи.

XХ

Что происходит под знаком интеграла, остается под знаком интеграла

Ричард Фейнман ненавидел уроки математики. Вся проблема была в том, что перед тем, как дать ученику решить задачу, учитель всегда представляет метод, которым ее следует решать. Где здесь приключение? Любой дерзкий проект становится вялым и безжизненным – государство тупиц, созданное тупицами и для тупиц.