Книга Закат Западного мира. Очерки морфологии мировой истории - Освальд Шпенглер

предел. Это представлялось им самой глубокой из всех вообще задач мировой формы: превратить ограниченные кривыми линиями поверхности, не меняя их величины, в прямоугольники и тем самым сделать их измеримыми. Для нас отсюда возникла малозначительная процедура по представлению числа π алгебраическими средствами, без того чтобы при этом вообще заходила речь о геометрических построениях.

Античный математик знает лишь то, что видит, что ему доступно. Там, где прекращается ограниченная и ограничивающая видимость, тема хода его рассуждений, приходит к концу и его наука. Западный же математик, как только освободится от античных предубеждений и принадлежит самому себе, отправляется во всецело абстрактную n-мерную (а уже вовсе не 3-мерную) область бесконечного числового разнообразия, внутри которой его так называемая геометрия способна и должна управиться без каких-либо наглядных вспомогательных средств. Если античный человек берется за художественное выражение своего чувства формы, он старается придать танцующему или борющемуся человеческому телу такое положение в мраморе и бронзе, в котором поверхности и контуры имели бы как можно больше соразмерности и смысла. Подлинный же художник Запада зажмуривает глаза и уносится в область бесплотной музыки, где гармония и полифония ведут к образованиям высшей «запредельности», находящимся вдали от каких-либо возможностей зрительного определения. Стоит задуматься о том, что понимают под фигурой афинский скульптор и мастер контрапункта с Севера, как сразу во всей непосредственности осознаешь противоположность того и другого мира, той и другой математики. Греческие математики использовали слово σµα даже для обозначения своих математических тел. С другой стороны, язык права пользуется им для обозначения лиц в противоположность вещам (σώµατα και πράγµατα: personae et res).

Поэтому античное целое, телесное число непроизвольно стремится к установлению связи с возникновением телесного человека, σµα. Число 1 еще почти и не воспринимается в качестве настоящего числа. Оно является ἀρχή, протовеществом числового ряда, источником всех подлинных чисел, а значит, всех величин, всех мер, всей вещественности. В пифагорейских кругах, не важно, в какую эпоху, его числовой символ являлся в то же самое время символом материнского лона, источника всякой жизни. 2, первое число в собственном смысле, которое удваивает 1, оказывается поэтому в связи с мужским началом, и его символ был имитацией фаллоса. Наконец, пифагорейская священная тройка знаменовала акт соединения мужчины и женщины, порождения (эротический смысл сложения и умножения, этих исключительных по значимости для античности процессов увеличения величин, их порождения, лежит на поверхности), и ее символом было объединение двух первых. Исходя из этого упоминавшийся миф о святотатственном открытии иррациональности предстает в новом свете. Иррациональность, или, выражаясь по-нашему, применение бесконечных десятичных дробей, означала разрушение установленного богами органически-телесного, порождающего порядка. Нет сомнения в том, что пифагорейская реформа античной религии вновь базировала ее на стародавнем культе Деметры. Деметра же близка к Гее, матери-земле. Между ее почитанием и этим возвышенным пониманием чисел существует глубокая связь.

Так античность в силу внутренней необходимости постепенно стала культурой малого. Аполлоническая душа старалась заклясть смысл ставшего с помощью принципа обозримых границ; ее «табу» было направлено на непосредственную данность и близость чужого. Все, что находилось далеко, что невозможно было увидеть, того и не было вовсе. Греки, как и римляне, приносили жертвы богам той местности, в которой находились; все прочие исчезали из их поля зрения. Подобно тому как в греческом языке не имелось ни одного слова для пространства (нам еще придется вновь и вновь прослеживать колоссальную символику этого языкового феномена), у грека также отсутствует наше ощущение ландшафта, восприятие горизонта, вкус к видам, далям, облакам, а также и понятие родины, которая простирается вдаль и охватывает большую нацию. Для античного человека родина – это то, что он может охватить взглядом с крепости своего родного города, и не более того. Все, что находилось за пределами этой оптической границы политического атома, было чуждым, даже враждебным. Уже здесь берет начало страх античного существования, и этим объясняется чудовищная ожесточенность, с которой уничтожали друг друга эти крохотные городки. Полис – самая малая из всех мыслимых государственных форм, и его политика – это неприкрытая политика близи, что в крайней степени противоположно нашей кабинетной дипломатии, политике безграничного. Античный храм, который можно охватить одним взглядом, – самый малый из всех классических типов зданий. Геометрия от Архита и до Евклида занимается (как продолжает это делать еще и сегодня находящаяся под ее впечатлением школьная геометрия) небольшими, удобными в обращении фигурами и телами, так что от нее остались скрытыми те трудности, которые возникают при обосновании фигур с астрономическими размерами, где уже не во всем применима евклидова геометрия[58]. В противном случае утонченный аттический ум уже тогда догадался бы о проблемах неевклидовых геометрий, поскольку от возражений против известной аксиомы о параллельных прямых[59], сомнительная и все же не поддающаяся улучшению формулировка которой вызвала неприятие уже довольно рано, уже совсем недалеко до решающего открытия. Как для античного разума чем-то само собой разумеющимся является исключительное рассмотрение ближнего и малого, так для нашего разума само собой разумеется рассмотрение бесконечного, перешагивающего границы зрения. Все математические воззрения, которые были открыты или позаимствованы Западом, как что-то само собой разумеющееся отдавались во власть языка форм инфинитезимальных величин, и это задолго до открытия самого́ дифференциального исчисления. Арабская алгебра, индийская тригонометрия, античная механика оказываются без долгих проволочек включенными в анализ. Даже «очевиднейшее» выражение элементарного счета, о том, что, например, 2 × 2 = 4, приводит, будучи рассмотренным с точки зрения анализа, к проблеме, решение которой возможно лишь посредством выведений из теории множеств, причем во многих частностях такое решение еще и не было получено, – что, несомненно, показалось бы Платону и его эпохе полным безумием и доказательством решительного отсутствия математического дара.

Можно, что называется, трактовать геометрию алгебраически или же алгебру – геометрически, т. е. полностью исключать зрение или давать ему господствовать. Первым занимаемся мы, вторым же занимались греки. В выполненном Архимедом красивом вычислении спирали он касается определенных всеобщих фактов, лежащих также и в основе метода определенного интеграла Лейбница, однако тут же подчиняет свои выглядящие при поверхностном рассмотрении очень по-современному процедуры принципам стереометрии; в подобном случае индус прибег бы – как к чему-то само собой разумеющемуся – к тригонометрической формулировке[60].

13

Коренная противоположность античных и западных чисел приводит также к еще одной, столь же глубинной противоположности. Я говорю об отношениях, в которых находятся друг к другу элементы этих числовых миров. Отношение величин называется пропорцией, отношение же соотношений содержится в понятии функции. Покинув пределы математики, оба этих слова играют чрезвычайно большую роль в