Книга Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - Дэвид Дарлинг

Что касается музыки на золотых пластинках “Вояджеров”, совершающих свой бесконечный полет по межзвездному пространству, ведется немало споров о том, что с наибольшей вероятностью звучало бы музыкально для инопланетного слуха. Некоторые считают, что это сочинения Баха, самого “математического” из композиторов. Из 27 произведений, отобранных для 90-минутной музыкальной коллекции “Вояджеров”, Баху принадлежат три: фрагменты Бранденбургского концерта № 2 фа мажор, Gavotte en Rondeau из партиты для скрипки соло № 3 ми мажор и прелюдия и фуга № 1 до мажор из “Хорошо темперированного клавира”, том 2. Суммарно шедевры Баха занимают 12 минут 23 секунды – приблизительно седьмую часть всей записи. Такое очевидное предпочтение отражает уверенность составителей коллекции в том, что тщательно структурированная музыка Баха (вспомним хотя бы мастерское использование им контрапункта для переплетения нескольких мелодических голосов) способна воззвать и к разуму, и к чувству прекрасного любых развитых существ, доведись тем найти космический аппарат.

Представить себе, как может звучать внеземная музыка, пытались и ученые, и писатели. В фильме “Близкие контакты третьей степени” инопланетяне использовали в качестве приветствия последовательность из пяти нот мажорной гаммы: “ре – ми – до – до (на октаву ниже) – соль”. По сценарию они, возможно, делали это потому, что слушали земную музыку и хотели, чтобы мелодия звучала знакомо. А может быть, другие цивилизации нашей галактики придут к тем же музыкальным строям, что и мы, поскольку с точки зрения математики они самые простые и из них получаются самые красивые мелодии и гармонии, где бы ты ни рос – на Земле или на четвертой планете какой-нибудь звезды в 40 000 световых лет отсюда. Ведь если математика универсальна, то столь же универсальны (со множеством вариаций) могут быть и основы музыки, в том числе музыкальные строи и принципы настройки инструментов. Есть, например, некий элемент неизбежности в появлении равномерно темперированного строя: любые разумные существа, желающие добиться гармоничного совместного звучания разных музыкальных инструментов независимо от тональности, рано или поздно придут к чему-то подобному.

Если (или когда) люди наконец смогут установить контакт с другими разумными существами, есть шанс, что произойдет это посредством музыки. И идея эта не нова. В XVII веке английский священник Фрэнсис Годвин, епископ Херефорда, написал книгу “Человек на Луне” (опубликованную посмертно в 1638 году), герой которой, бесстрашный астронавт Доминго Гонсалес, встречается с жителями Луны, общающимися на музыкальном языке. В основе идеи Годвина лежит описание устной китайской речи с ее тонами, составленное миссионерами-иезуитами, незадолго до того вернувшимися в Европу. В книге Годвина буквам алфавита лунных жителей соответствуют разные ноты.

В 1960-х годах немецкий радиоастроном Себастьян фон Хорнер, опубликовавший множество работ по проблеме поиска внеземного разума, отстаивал использование музыки как средства межзвездной коммуникации. Инопланетная музыка, считал он, с очень высокой вероятностью может напоминать земную. В многоголосной музыке (когда одновременно звучат две ноты или более), где бы она ни зародилась, есть лишь ограниченное количество способов заставить голоса звучать гармонично. Модуляции – переходы из одной тональности в другую – возможны только при условии, что октава разделена на равные части и соответствующие тона имеют частоты, находящиеся в определенном математическом соотношении. Западная музыка пришла к компромиссу в виде двенадцатиступенного равномерно темперированного строя. Тот же строй, предполагал фон Хорнер, может появиться и в музыке иных цивилизаций, как и еще пара неплохих компромиссных звукорядов: пятиступенный и тридцатиодноступенный. О последнем в XVII веке много писали ученые, в том числе астроном Христиан Гюйгенс: по их мнению, такой строй оптимален для существ, обладающих более чувствительной, чем наша, слуховой системой. Тем же из обитателей далеких планет, кого природа не наделила хорошей способностью различать близкие по высоте звуки, лучше подойдет пятиступенный равномерно темперированный строй.

Часто считают, что первое послание, которое мы получим из других миров, будет научным или математическим. Но разве можно себе представить приветствие лучше, чем хорошая музыка – не только имеющая логическую основу, но и наполненная чувствами и эмоциями ее создателей?..

Глава 7. Тайны простых чисел

Математики уже давно тщетно пытаются найти какую-то закономерность в последовательности простых чисел, и у нас есть основания полагать, что эту тайну человеческий разум не сумеет разгадать никогда.

Леонард Эйлер

Возможно, самая важная на сегодня задача для математиков – это гипотеза Римана.

Эндрю Уайлс

Простое число – это всего лишь натуральное число, которое делится без остатка только на само себя и на единицу. Казалось бы, ничего особенного в таком свойстве нет, и тем не менее простые числа в математике – на особом положении. Не будет преувеличением сказать, что простые числа связаны с некоторыми из величайших неразгаданных тайн в этой науке и играют важную роль в нашей повседневной жизни. Например, каждый раз, когда вы пользуетесь кредитной карточкой, компьютеру банка нужно удостовериться, что вы ее владелец. Делает он это с помощью алгоритма, который превращает очень большое число в однозначно определяемое произведение двух заранее известных простых множителей. От решения таких странных задачек во многом зависит наша финансовая безопасность.

Первые несколько простых чисел – это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и 29. Все числа, не относящиеся к простым, называют составными. Само число 1 простым не считается (а могло бы), поскольку иначе возникли бы сложности с рядом полезных теорем, в том числе с той, которая настолько важна, что ее величают “основной теоремой арифметики”. Она гласит, что любое число можно представить в виде произведения простых чисел единственным способом (если не учитывать порядок следования множителей). Например, 10 = 2 × 5, а 12 = 2 × 2 × 3. Если бы единица считалась простым числом, то таких способов было бы бесконечное множество – ведь можно сколько угодно раз последовательно умножать число на единицу, результат от этого не изменится.

В природе простые числа встречаются в самых удивительных и неожиданных местах. Один из видов цикад, Magicicada septendecim, имеет 17-летний жизненный цикл. Все особи этого вида проводят в стадии личинки ровно семнадцать лет, после чего вся популяция одновременно вылупляется из своих оболочек для спаривания. Другой вид, Magicicada tredecim, имеет 13-летний жизненный цикл. Существует множество теорий, почему в процессе эволюции у этих цикад выработался жизненный цикл, выражающийся простым числом лет. Самая популярная заключается в том, что существовал хищник, тоже появлявшийся раз в определенное количество лет. Если бы цикады достигали зрелости в один год с питающимися ими животными, весь выводок этих насекомых, скорее всего, тут же уничтожался бы. Выживание цикад зависело от способности выработать жизненный цикл, минимально пересекающийся с циклом хищников. Если бы, например, цикл развития того или иного вида составлял пятнадцать лет, то хищники вполне могли бы появляться каждые три года или пять лет и пожирать выводок насекомых всякий раз при его вылуплении; либо появляться каждые шесть или десять лет и уничтожать новое поколение цикад через раз. И в том и в другом случае данный вид цикад в скором времени просто вымер бы. Другое дело, когда жизненный цикл цикад длится семнадцать лет: хищники с более короткой продолжительностью жизни (а по имеющимся данным, гипотетические хищники жили не так долго, как цикады) шестнадцать своих циклов не будут заставать время появления лакомой добычи и в конце концов просто вымрут от истощения. Такие хищники давно бы уже исчезли с лица земли, оставив цикад с их жизненным циклом, выражающимся простым числом лет, живыми-здоровыми.