Книга Ловушки разума и Ловцы душ. Убеждения, меняющие нашу жизнь или Что заставляет нас купить дырку от бу - Александр Невеев

Давайте рассуждать. Когда мы получим двойку? Это очень просто: двойка выпадает, когда на одной кости выпадает единица и на другой кости тоже выпадает единица.

А когда выпадает тройка? Это тоже просто: когда на одной кости выпадает единица, а на другой – двойка.

Отсюда следует, что вероятности выпадения двойки и тройки при бросании игральных костей равны.

Правильно?

Нет, неправильно!

Дело в том, что двойку действительно можно выбросить только одним способом: на одной кости выпадает единица и на другой единица. А вот тройку можно выбросить двумя способами, то есть способов получения тройки больше, а значит, эта комбинация более вероятна.

Почему тройка получается двумя способами? Потому что одним таким способом будет комбинация «один-два», а другим – комбинация «два-один». Это легче представить, если мы раскрасим кости в разный цвет.

Вот единственный способ получения двойки.

А вот два способа получения тройки.

Обратите внимание! Если бы вас спросили, какая комбинация, возникающая при бросании двух игральных костей, более вероятна:

правильным ответом был бы «комбинации выпадают с равной вероятностью». Действительно, если говорить о комбинациях, а не об их числовых значениях (очках, получаемых при выпадении комбинации), то при бросании двух игральных костей существует всего 36 равновероятных комбинаций (две кости, у каждой из которых шесть граней, то есть 62 = 36).

Но вернемся к ситуации, когда нас интересует не комбинация, а ее числовое значение. Вот таблица всех числовых значений комбинаций, возникающих при бросании двух костей. Случаи получения двойки и тройки выделены.

Естественно, если наши кости одного цвета, то на глазок мы никак не определим, какой именно случай у нас перед глазами – «один-два» или «два-один», но если мы играем в кости достаточно долго, то заметим, что тройка выпадает примерно в два раза чаще двойки. Точнее, не заметим, а лишь будем получать последствия от более вероятного выпадения тройки, тогда как нам кажется, что вероятность эта равна вероятности выпадения двойки.

Вы даже можете подзаработать на этой неразличимой глазом особенности бросания костей. Попросите друга сыграть с вами в игру: он ставит на то, что при бросании двух костей выпадет двойка, а вы – на то, что выпадет тройка. Вы будете чаще выигрывать, а ваш друг, скорее всего, даже не поймет, почему так происходит.

Теперь и мы можем, подобно Галилео Галилею, правильно ответить на вопрос герцога Тосканского о том, почему при игре с тремя игральными костями десятка выпадает чаще девятки. Дело в том, что десятку при бросании трех игральных костей можно получить 27 способами, тогда как девятку – лишь 25. Это связано с тем, что комбинация «три-три-три» как бы съедает две комбинации.

Таким образом, если вы вдруг захотите поиграть с другом в бросание трех игральных костей, вам будет выгоднее ставить на то, что выпадет десять очков, чем на то, что выпадет девять, поскольку десять выпадает чаще.

Но давайте углубим свои познания и зададим более общий вопрос: а на какое количество очков надо поставить при бросании двух костей, чтобы максимально повысить вероятность выигрыша? Да и вообще, существует ли такое количество очков?

Для ответа на эти вопросы посмотрим на нашу таблицу и создадим на ее основе следующий график.

А вот тот же график, но в более наглядном виде (использованы разноцветные кости).

Как видим, чаще всего будет выпадать комбинация, дающая семь очков. Значит, именно на семерку и нужно ставить.

Но почему чаще всего при бросании двух игральных костей мы будем получать семерку? Потому что существует шесть способов получить семерку, пять способов получить шестерку и восьмерку, четыре способа получить пятерку и девятку и т. д. Другими словами, вероятность получения семи очков максимальна и составляет 6/36, или 1/6, или примерно 17 %.

Кстати, 7 – это еще и среднее арифметическое суммы очков, которая выпадает при бросании игральных костей. Действительно:

(2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12) / 11 = 7.

Итак, при бросании двух костей именно на семерку нужно ставить, чтобы максимально повысить вероятность вашего выигрыша.

Нормальное распределение

Когда Галилео Галилей изобрел свой телескоп, он немедленно приступил к астрономическим наблюдениям. Он совершал их по многу раз, чтобы достичь максимальной точности. При этом Галилей заметил одну важную закономерность: маленькие ошибки в измерениях происходили намного реже серьезных ошибок.

Позднее эту закономерность вновь обнаружил и детально описал один из величайших математиков в истории – Карл Фридрих Гаусс (1777–1855). Он тоже проводил астрономические измерения и обнаружил ту же картину, что и Галилей. Но, в отличие от последнего, он математически описал эти отклонения и в итоге открыл кривую нормального распределения, которая сегодня носит в том числе и его имя: эту кривую называют колоколообразной кривой, кривой нормального распределения, кривой Гаусса или просто гауссианой.