Книга Быстрая математика: секреты устного счета - Билл Хэндли

перечитайте описание. Метод стоит потраченных усилий.

Теперь вы, вероятно, вполне в состоянии использовать метод на практике. Ниже вам предлагаются примеры для самостоятельного решения. Проверьте ответы.

а) 17 х 17 = 289; б)154 х 23 = 3542; в) 32 х 41 = 1312; г) 46 х 42 = 1942

Один из ответов является неправильным. Я не скажу вам какой. Замечу только, что выбрасывание девяток также позволит определить ошибку. Попробуйте выполнить двойную проверку.

Используя любой из описанных методов, будь то выбрасывание девяток или одиннадцати, я иногда предпочитаю выполнять дополнительную проверку, а именно — путем оценки приближенного значения, получаемого в ответе.

Все эти методы являются очень полезными, особенно если вы работаете с числами в школе или на рабочем месте.

Глава 17

Приближенное значение квадратного корня

При возведении числа в квадрат мы умножаем его на самого себя. Например, 4 в квадрате равно 16, поскольку 4, умноженное на 4, дает 16.

Нахождение квадратного корня — это процесс, обратный возведению в квадрат. Чтобы найти квадратный корень из числа 16, необходимо определить число, которое, будучи умноженным на самого себя, даст в результате 16. Ответом, разумеется, является 4. Подобным образом квадратным корнем из 25 является 5, поскольку 5 на 5 будет 25.

Каким будет квадратный корень из 64? Ответом служит 8, поскольку 8 х 8 = 64.

А как насчет квадратного корня из 56? Здесь задача потруднее, поскольку целого числа в качестве квадратного корня из 56 не существует. 7 на 7 дает 49, которое меньше, чем 56, а 8 на 8 будет 64, которое больше, чем 56. Ответ, таким образом, находится где-то между 7 и 8. Оценку величины квадратного корня мы проводим следующим образом. Выбираем то число, чей квадрат чуть меньше числа, с которым мы работаем — в данном случае 56, — и делим второе на первое.

В рассматриваемом случае берем 7, чей квадрат (49) чуть меньше 56. 8, к примеру, не годится на данную роль, поскольку его квадрат (64) больше, чем 56.

Теперь делим 56 на 7 и получаем в ответе 8.

Берем среднее между 7 и 8. Таким средним является 7,5. (Один из способов нахождения среднего для нескольких чисел состоит в том, чтобы разделить сумму этих чисел на их количество.) Данный ответ несколько превышает требуемый, что можно проверить несложным вычислением (7,5 х 7,5 = 56,25). Округление до 7,48 дает более высокую точность.

Рассматриваемый ответ (7,48) является точным до двух знаков после запятой. Наш первый ответ (7,5) является точным до одного знака после запятой. Очень часто такой точности вполне достаточно.

Для обозначения квадратного корня используют символ J~. Его ставят перед числом, из которого желают извлечь квадратный корень. У16 = 4 означает, что квадратный корень из 16 равен 4.

Рассмотрим пример:

√70 =

Прежде всего попытаемся угадать ближайшее число, являющееся округлением искомого корня.

√70 ~= 8 (8 х 8 = 64)

Разделим исходное число на полученное приближенное целое значение.

70: 8 = 8,75

Теперь разделим пополам разницу между первой оценкой (в данном случае числом 8) и результатом деления числа на его первую оценку, то есть 8,75. Разница равна:

8,75 — 8 = 0,75

Разделив пополам эту разницу, получим:

0,75: 2 = 0,375

И наконец, прибавим полученный результат к первоначальной оценке (8):

8 + 0,375 = 8,375

Полученный таким образом ответ всегда будет слегка больше требуемого, поэтому округлим его в сторону уменьшения. В данном случае возьмем в качестве требуемого округления 8,37. Данный ответ вычислен с ошибкой в пределах 0,2 процента.

Попробуем решить еще один пример. Как бы мы вычисляли квадратный корень из 29?

√29 =

Выбираем 5 в качестве первой оценки (5 х 5 = 25). Делим 29 на 5, с тем чтобы получить более точное приближенное значение.

29 делится на 5 пять раз с остатком 4. 40 (остаток 4, умноженный на 10) делится на 5 восемь раз без остатка. Получаем в результате деления 5,8.

29: 5 = 5,8

Разность между 5 и 5,8 равна 0,8. Половина от 0,8 равна 0,4. Прибавим это к 5 — нашей первой оценке искомого квадратного корня — и получим более точную оценку: 5,4.

Ответом является 5,385, однако 5,4 предоставляет точность до одного знака после запятой. Мы имеем ошибку величиной примерно в 0,2 процента. Такая точность является достаточной в большинстве случаев.

Попробуем решить еще один пример:

√3125 =

Разобьем число на пары цифр, начиная с крайней правой:

Каждой паре цифр в числе, из которого извлекается квадратный корень, соответствует одна цифра в целой части ответа.

В данном примере в ответе будет двузначное число, не принимая в расчет цифры после запятой.

Если пара цифр является неполной, то есть когда цифр перед запятой, например, пять и у нас имеется две пары и одна (крайняя левая) цифра, эта единичная цифра приравнивается к паре.

Чтобы вычислить первую цифру в ответе, оценим квадратный корень из числа, образованного из первой пары цифр. Первым приближением квадратного корня из 31 служит 5 (5 х 5 = 25). Последующими цифрами в первом приближении квадратного корня у нас всегда будут нули. Так как в ответе нужна еще одна цифра, мы добавляем к 5 один нуль и получим 50 в качестве первого приближения корня.

Чтобы разделить на 50, делим сначала на 10, а потом на 5:

3125: 10 = 312,5

Теперь делим на 5 и получаем 62,5.

Найдем разницу и разделим ее пополам:

62,5 — 50 = 12,5

12,5: 2 = 6,25

Округляем в меньшую сторону до целого числа и прибавляем к первой оценке:

50 + 6 = 56

√3125 = 56 ОТВЕТ

Воспользовавшись калькулятором, получим:

√3125 = 55,9

Ответ, который мы получили расчетом, вычислен с ошибкой, не превышающей 0,2 процента. Если бы мы не округляли 6,25 до 6, ошибка все равно не превышала бы 1 процент.

Приведенные вычисления можно легко выполнить в уме. Вместе с тем большинство людей не умеют вычислять квадратные корни даже на бумаге.

Вычисления в уме

Решим следующую задачу в уме.

Чему равен квадратный корень из 500 (√500)?

Прежде всего разобьем число на пары цифр. Сколько пар у нас получается? Две (одна неполная). Поэтому в ответе будут две цифры.

Какая первая пара цифр? Речь идет