Книга Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир - Андрей Райгородский

Аукцион второй цены

При слове «аукцион» мы обычно представляем комнату, полную хорошо одетых людей, и человека с молотком на трибуне. Участники поднимают ставки. Раз, два, три – продано! Это открытый аукцион, все слышат ставки друг друга.

В онлайн-рекламе используются так называемые закрытые аукционы, потому что рекламодатели не знают ставок друг друга. Ставки сделаны заранее, и в момент «розыгрыша» поисковая система сравнивает их и вычисляет победителей и цены. Это похоже на ситуацию, когда каждый участник записывает ставку на листе бумаги и отдает его организаторам в запечатанном конверте. В момент розыгрыша конверты вскрываются, и товар уходит покупателю, чья ставка оказалась самой высокой.

Представьте себе наиболее простую ситуацию, так называемый аукцион первой цены. Конверты вскрыты, и товар уходит по самой высокой ставке тому, кто ее предложил. Допустим, Анна и Борис участвуют в таком аукционе. Анна готова заплатить за товар 500, а Борис 300. Оба честно написали ставки 500 и 300. Товар ушел к Анне за 500. Все справедливо, но все ли довольны? На самом деле нет. Если бы Анна написала 400 или даже 301, то получила бы товар гораздо дешевле! Получается, что правдивую ставку делать невыгодно. Самое лучшее для Анны – это разузнать или угадать ставку Бориса и поставить чуть-чуть больше.

Теперь представим, что правила изменились. Товар получает тот, кто сделал самую большую ставку, но по цене второй по величине ставки. Это называется аукционом второй цены. Анна и Борис честно пишут 500 и 300. Анна получает товар за 300.

Если задуматься, традиционный открытый аукцион с повышающимися ставками – это тоже аукцион второй цены. Товар уходит к победителю, как только его ставка становится чуть выше, чем предельная ставка второго претендента.

Чудо аукциона второй цены заключается в том, что теперь делать правдивые ставки становится выгодно и безопасно. Анна может спокойно писать 500 и не волноваться, потому что больше 300 с нее не возьмут. А 300 и Борис готов заплатить, поэтому меньше 300 никак не получится.

Создать правила, при которых выгодно делать правдивые ставки, – один из основных принципов теории дизайна механизмов, он называется совместимость по стимулам. Аукцион второй цены – классический пример этого принципа. Математический анализ аукциона второй цены и доказательство совместимости по стимулам впервые предложил американский экономист Уильям Викри. Его статья, которая заложила основы теории аукционов, вышла в 1961 году{30}. В 1996-м за эти исследования Викри получил Нобелевскую премию по экономике.

Именно аукционами второй цены, в разных вариантах, пользуются все поисковые системы. По словам Сергея Измалкова, это была «четвертая революция» в онлайн-рекламе[23]. Ниже на рис. 8.1 перечислены все четыре ключевые идеи, приведшие к современной онлайн-рекламе, какой мы ее видим каждый день.

Рис. 8.1. Четыре ключевые идеи современной рекламы в поисковых системах

Результат Викри

Главный вклад Викри – это формальный анализ аукционов и доказательство того, что различные форматы аукционов приносят одинаковый доход продавцу. Один из удивительных результатов этого анализа заключается в том, что аукцион второй цены удовлетворяет совместимости по стимулам, то есть каждому участнику выгодно делать правдивые ставки. Понять это совсем не сложно, почти элементарно.

Вернемся к примеру, в котором Анна, Борис и еще несколько человек участвуют в аукционе второй цены. Каждый пишет свою ставку и кладет в конверт. Допустим, для Анны ценность товара 500, и ставок других участников она не знает.

Что произойдет, если Анна поставит 600? На рис. 8.2 мы представили три возможных сценария. Ставки участников обозначены жирными точками. В рамке вторая по величине ставка, это окончательная стоимость товара в аукционе второй цены. Если все остальные участники поставили меньше 500, как на рис. 8.2 вверху, то ничего не изменилось, Анна по-прежнему получает товар за вторую цену (в данном примере 300). Повышать ставку смысла не было. Если кто-то поставил больше 600, как на рис. 8.2 в середине, Анна не получает товар в любом случае. Победитель платит больше, но для самой Анны ничего не меняется. Опять же повышать ставку смысла не было (разве что из вредности, но модель этого не учитывает). Теперь представьте, что кто-то поставил 550, как на рис. 8.2 внизу. Тогда Анна получает товар за 550, а это для нее слишком дорого. В контексте онлайн-рекламы она может даже потерять на рекламе, вместо того чтобы заработать. Вывод: ставить выше 500 невыгодно.

.

Рис. 8.2. Три сценария, в которых Анна вместо правдивой ставки (500) делает более высокую ставку (600)

Но, может, выгодно сделать более низкую ставку? Оказывается, нет! Допустим, Анна решила попробовать поставить поменьше, скажем 400. На рис. 8.3 изображены те же три сценария. Если все остальные участники поставили меньше 400, как на рис. 8.3 вверху, то ничего не изменилось, Анна по-прежнему получает товар за вторую цену (в данном случае снова 300). Если кто-то поставил больше 500, как на рис. 8.3 в середине, то Анна не получит товар в любом случае. Но если кто-то поставил 450, как на рис. 8.3 внизу, то Анна товар опять же не получает, хотя цена ее устраивала и она была готова платить больше, чем победитель. Возможность хорошей онлайн-рекламы упущена. Ставить ниже 500 тоже невыгодно!

.

Рис. 8.3. Три сценария, в которых Анна вместо правдивой ставки (500) делает более низкую ставку (400)

Получается, что при аукционе второй цены ни одному из участников нет никакого смысла делать ставку, которая отличается от их честной оценки товара[24].

Это очень простой и глубокий математический результат, в котором сходятся сразу две фундаментальные концепции. Одну из них мы уже обсудили, это совместимость по стимулам, при которой честные ставки самые выгодные. Вторая – это так называемое равновесие по Нэшу. Речь идет о том самом Джоне Нэше из фильма «Игры разума».