Книга Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир - Андрей Райгородский

На практике обычно применяют хеш-значения длины 32 или 64. Хеш-значения генерируются с помощью специальных программ, так называемых хеш-функций, весьма нетривиальным образом. Усмотреть связь между изначальной записью и ее хеш-значением фактически невозможно. Поэтому можно считать, что хеш-значения присваиваются случайным образом. И метод К-Minimum Values, и метод Флажоле пользуются не самими записями, а их хеш-значениями.

Напомним, что по методу К-Minimum Values нужно запомнить несколько самых маленьких хеш-значений. Флажоле пошел еще дальше, предложив запоминать только число нулей в начале хеш-значения.

Для примера опять возьмем хеш-значения длины 8. Допустим, нам попалось хеш-значение

00001011

Последовательности, у которых в начале ровно четыре нуля, встречаются не очень часто, в среднем одна на 32. Если мы наткнулись на такую последовательность, то можно предположить, что в среднем мы видели 32 разных хеш-значения, то есть число объектов – примерно 32. Что, если мы видели еще больше нулей, скажем пять?

00000101

Такие последовательности еще более редки, одна на 64, то есть объектов примерно 64! Разве не гениально?

Идея очень простая. Чем больше нулей, тем реже встречаются такие хеш-значения. Если какому-то объекту случайно досталось очень редкое хеш-значение, значит, объектов было много.

Запомнить при этом нужно только одно число – самое большое количество нулей, которое мы видели, например 4. Для этого достаточно минимального объема памяти. Если нам попалось хеш-значение, у которого нулей больше, например 5, мы выкидываем из памяти 4 и запоминаем 5[22].

Очевидно, что этот метод очень приблизительный. Например, хеш-значение с четырьмя нулями нам могло встретиться и в самом начале. Столь грубые оценки для практики не годятся.

В HyperLogLog для улучшения точности добавлено много хитрых приемов. Хеш-значения разбиваются на регистры, оценка считается в каждом регистре отдельно, а потом усредняется специальным образом. Кроме этого, учитывается коррекция, когда объектов очень мало или, наоборот, очень много. Подробно об этом можно прочитать в блоге{23}. Там можно даже запустить программу и посмотреть, как метод работает.

На практике стараются достичь еще более высокой точности. Собственно, об этом статья сотрудников Google{24}, о которой мы упоминали выше. Она так и называется «HyperLogLog на практике». Например, авторы уделили особое внимание коррекции при маленьком числе объектов. Грубо говоря, если клиент в состоянии посчитать объекты вручную, то и компьютер должен давать абсолютно правильный ответ.

Так грубая, почти нахальная оценка Флажоле привела к решению задачи подсчета, решению с оптимальным балансом между эффективностью и точностью.

Четыре виртуальных рукопожатия

Помимо того что задача подсчета важна сама по себе, она находит и другие, совершенно неожиданные применения.

Все мы знаем, что мир тесен. Знакомишься с человеком, и тут же находятся общие знакомые или хотя бы знакомые знакомых. Многих исследователей интересовал вопрос, насколько тесен виртуальный мир социальных сетей.

Вопросы подобного рода имеют длинную историю. В конце 1960-х годов социолог Стэнли Милграм провел свой знаменитый эксперимент. Он раздал случайным людям в штатах Небраска и Канзас письма, адресованные брокеру из Бостона. Географически и по роду занятий эти люди были достаточно далеки от адресата. По правилам эксперимента, участники могли переслать письма только своим знакомым, которые должны были передать их дальше, своим знакомым, и так далее, пока они в конце концов не достигнут адресата. Из 296 писем большинство затерялось в дороге, но 64 письма дошли-таки по назначению. При этом оказалось, что цепочка, связывающая совершенно незнакомых людей, на удивление короткая. В среднем отправителя и адресата разделяло всего 5 человек! На рис. 7.1 мы схематически изобразили, как письмо пересылалось всего шесть раз, через пять промежуточных человек.

Рис. 7.1. Схематическое изображение эксперимента Стэнли Милграма. Участники могли переслать письмо только своим знакомым. Письмо от отправителя до адресата пересылалось 6 раз, через 5 разных человек

Так родилось понятие «шести рукопожатий». Если вы пожмете руку всем своим знакомым, ваши знакомые пожмут руку своим знакомым и так далее, то понадобится всего шесть рукопожатий, чтобы соединить вас с любым человеком на Земле!

Эксперимент Милграма не идеален, неслучайно столько писем затерялось в дороге. Но в то время просто не было другого способа выяснить, кто, с кем и через кого знаком. Зато сейчас таких данных сколько угодно.

Чтобы провести подобный эксперимент в «Фейсбуке», не нужно даже беспокоить участников. На сервере сети хранится полная информация, кто с кем дружит. Остается только вычислить количество «виртуальных рукопожатий», отделяющих одного пользователя от другого. Можем ли мы это сделать? Именно такой вопрос задали научные сотрудники «Фейсбука» профессору Миланского университета Себастьяно Винье.

И Себастьяно, и сотрудники социальной сети понимали, что это колоссальная задача. Неслучайно она не была решена раньше. У «Фейсбука» свыше 700 миллионов активных пользователей, то есть более

пар пользователей. И нужно вычислить длину цепочки для каждой пары! Но дело не только в этом. Ключевая проблема – опять же в количестве оперативной памяти, и возникает она потому, что между двумя пользователями не одна, а несколько цепочек разной длины. Для примера посмотрим на маленькую социальную сеть на рис. 7.2. А отделяет от В одно рукопожатие или два – через Г. Разных цепочек очень много, потому что друзья друзей зачастую наши друзья. В социальных сетях это известный, проверенный и доказанный феномен. При этом нас интересует самая короткая цепочка.