Книга Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - Хаим Шапира

Гипатия была женщиной поистине разносторонне одаренной. Будучи в Александрии, она изучала философию Платона и Аристотеля. При жизни она прославилась и в качестве астронома и написала книгу под внушительным названием «Астрономический канон», представлявшую собой набор таблиц, которые описывали движение небесных тел. Гипатия славилась и замечательной красотой, но, если верить ее биографам, так и не вышла замуж.

Гипатия была язычницей, и это не нравилось ее соседям-христианам. В 415 г. группа особенно фанатичных и буйных монахов обвинила Гипатию в религиозной крамоле. Напав на нее на городской площади, они жестоко пытали ее, а затем убили.

История Гипатии была столь драматичной, что появление биографического фильма о ней было лишь вопросом времени. За это дело взялся испанский режиссер Алехандро Аменабар, который и снял в 2009 г. фильм «Агора». Разумеется, в фильме не обошлось и без любовной истории.

СОФИ ЖЕРМЕН

Это подводит нас к фигуре Софи Жермен, которая была связана с миром простых чисел и мириадой его задач.

Софи Жермен родилась в Париже в 1776 г. (а умерла в 1831-м). Саймон Сингх писал в 1997 г. в книге «Великая теорема Ферма»[23], что в возрасте 13 лет Софи прочитала, что Архимед отказался оставить свою математическую работу даже под угрозой смерти, в результате чего и погиб от руки римского воина. Эта история произвела на Софи сильное впечатление: она решила, что математика должна быть предметом чрезвычайно интересным, раз изучение ее тайн способно увлекать до такой степени. Несомненно, ее так же сильно поразило бы известие о том, что Бертран Рассел трижды передумывал покончить с собой, чтобы узнать еще немного о математике.

Хотя Софи никогда официально не училась математике и не получила никакого ученого звания, она внесла значительный вклад в изучение математики, особенно в сферах дифференциальной геометрии и теории чисел. Одним из наиболее важных ее достижений в области теории чисел было уменьшение числа возможных решений уравнения Ферма. Софи Жермен победила в математическом конкурсе, организованном Французской академией наук, и стала первой женщиной, которой было позволено участвовать в семинарах академии. Ее именем названы улица и школа в Париже, не говоря уже о кратере на Венере: на этой планете есть кратер Жермен.

Простые числа Софи Жермен

Вернемся теперь к простым числам и открытым проблемам.

Простое число p называется числом Софи Жермен, если 2p + 1 – также простое число{18}. Вот несколько примеров простых чисел Жермен: 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89… Например, число 5 входит в этот список, потому что 2 × 5 + 1 = 11, а 11 – простое число. А вот число 7 в него не входит, потому что 2 × 7 + 1 = 15 (а 15 – число составное).

Умудренный читатель, наверное, уже может догадаться, какую задачу до сих пор никому не удалось решить: бесконечно ли количество простых чисел Жермен? Да, на этот вопрос ответа нет. Однако можно придумать и несколько других интересных задач.

Подумайте, не торопитесь.

Цепочки Каннингема

Рассмотрим последовательность чисел 2, 5, 11, 23, 47. Число 2 – простое число Жермен. Умножив его на 2 и прибавив единицу, мы получим простое число 5, которое также относится к простым числам Жермен и приводит нас к 11, которое также относится к простым числам Жермен и приводит нас к 23, которое также относится к простым числам Жермен и приводит нас к 47. Тут, однако, эта цепочка заканчивается, потому что 2 × 47 + 1 = 95, а это число составное. Таким образом, эта последовательность состоит из четырех чисел Жермен и еще одного простого числа.

Такого рода последовательности простых чисел Жермен называются цепочками Каннингема по имени британского военного и математика Алана Дж. Каннингема (1842–1928).

Вот еще несколько задач:

• Существуют ли более длинные цепочки? На самом деле да. Мой домашний компьютер совершенно обессилел, но сумел выдать следующий скромный пример цепочки из шести чисел: 89, 179, 359, 719, 1439, 2879.

• Существуют ли цепочки любой длины?

• Что будет, если заменить 2p + 1 на 2p – 1?

• Имеет ли смысл исследовать выражения 4p + 1 или 4p – 1?

Ха! Задавать-то сложные вопросы легко!

Загадка Гольдбаха, или Кто хочет стать миллионером?

В 1742 г. произошло несколько важных событий. Иоганн Себастьян Бах сочинил «Вариации Гольдберга» (нет почти ни одного настоящего математика, который бы не боготворил это произведение), поэт Эдуард Юнг написал «Ночные размышления о жизни, смерти и бессмертии», в Перу восстали индейцы. А 7 июня этого года почти никому не известный прусский математик Христиан Гольдбах написал письмо великому швейцарскому математику (с которым мы сталкиваемся снова и снова) Леонарду Эйлеру.

Эйлер и по нынешний день остается самым плодовитым математиком в истории – его наследие составляет около 80 томов трудов в разных областях математики. Наивысшим достижением Гольдбаха была служба учителем русского царя Петра II (внука Петра Великого). Хотя один из них был из Пруссии, а другой – из Швейцарии, и Эйлер, и Гольдбах работали в Санкт-Петербургской академии наук, основанной Петром Великим.

В письме к Эйлеру Гольдбах выдвинул гипотезу, известную теперь под названием «гипотеза Гольдбаха». Она представляет собой одну из самых старых и самых известных открытых проблем теории чисел, да и всей математики. Эта гипотеза утверждает, что любое четное целое число начиная с 4 может быть представлено в виде суммы двух простых чисел (так звучит современная формулировка гипотезы). Например, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5… Бо́льшие четные числа часто можно записать в виде суммы двух простых чисел не одним, а несколькими способами. Например, 40 = 3 + 37 = = 11 + 29 = 17 + 23.

Рассмотрим число 1742, то есть номер года, в котором была выдвинута эта гипотеза. Попробуем, например, такой вариант: 1742 = 13 + 1729.

Заметили ли вы, кстати говоря, что 1729 – это тот самый номер такси, на котором Харди приехал навестить больного Рамануджана? Так вот, сложение 1729 с несчастливым числом 13 дает 1742. Есть только одна крупная неувязка: 1729 (как вы уже должны знать) – число составное: 1729 = 19 × 91. Разумеется, мы с легкостью можем найти другие решения, например, 1742 = 19 + 1723 или 1742 = 43 + 1699… Проверьте, простые ли все эти числа! Вы также можете предложить свои собственные варианты разложения 1742 на два простых слагаемых.

При всем уважении к многочисленным открытым проблемам, касающимся простых чисел, о которых мы говорили до этого, гипотеза Гольдбаха, несомненно, самая знаменитая из них. Гипотеза о простых числах-близнецах занимает лишь второе место. Все же остальные задачи далеко отстают от этих двух по части известности и интереса, который они вызывают.