Книга Истина и красота. Всемирная история симметрии - Йен Стюарт

Глава 5

Хитрый лис

Какую дорогу избрать? Какой предмет изучать? Ему нравились оба, но пришло время выбирать — ужасная дилемма. На дворе был 1796 год, а блестящий 19-летний юноша стоял перед решением, которому предстояло определить его дальнейшую жизнь. Настал момент определиться насчет жизненного пути. Карл Фридрих Гаусс происходил из обыкновенной семьи, но знал, что ему уготовано величие. Его способности были очевидны для всех, включая герцога Брауншвейгского — суверена той области, где Гаусс родился и где жила его семья. Проблема состояла в том, что способностей у него было слишком много, и сейчас предстояло выбрать между двумя пристрастиями — математикой и филологией.

Однако 30 марта все решилось помимо его воли, само собой, как результат любопытного, замечательного и совершенно беспрецедентного открытия. В тот день Гаусс нашел эвклидово построение правильного многоугольника с семнадцатью сторонами.

Это может звучать как нечто понятное лишь посвященным, но у Эвклида не было и намека на это построение. Несложно найти способы построения правильных многоугольников с тремя, четырьмя, пятью или шестью сторонами. Можно соединить конструкции для треугольника и пятиугольника и получить таким образом многоугольник с пятнадцатью сторонами, можно удваивать число сторон, что даст восемь, десять, двенадцать, шестнадцать, двадцать…

Но семнадцать сторон не лезли ни в какие ворота. Однако же построение его было верным, и Гаусс абсолютно точно знал почему. Все сводилось к двум очевидным свойствам числа 17. Это число простое: оно делится нацело только само на себя и на 1. Кроме того, оно на единицу превосходит степень двойки: 17 = 16 + 1 = 24 + 1.

Если бы вы были гением, как Гаусс, вам было бы понятно, почему из этих двух непритязательных утверждений следует, что существует построение правильного семнадцатиугольника с помощью циркуля и линейки. Если бы вы были любым другим из великих математиков, живших между 500 годом до Р.Х. и 1796 годом, вы бы даже не заподозрили наличия здесь связи. Мы знаем об этом потому, что они действительно ничего такого не заподозрили.

Если Гаусс и нуждался в каком-либо подтверждении своего математического таланта, то он определенно такое подтверждение получил. И решил стать математиком.

Семья Гауссов перебралась в Брауншвейг в 1740 году, когда дед Карла устроился там садовником. Один из трех его сыновей, Гебхард Дитрих Гаусс, также стал садовником, время от времени подрабатывая то тут, то там — например, на кладке кирпича или прокладке каналов; иногда он выполнял работу «фонтанных дел мастера», а также помогал купцам и был казначеем небольшой похоронной кассы. Все более прибыльные профессии конвоировались гильдиями, и чужакам — даже чужакам во втором поколении — доступа туда не было. Гебхард женился во второй раз в 1776 году на Доротее Бенце — дочери каменщика, работавшей прислугой. Их сын Иоганн Фридерих Карл (сам себя всегда называвший Карлом Фридрихом) родился в 1777 году.

Гебхард был честным, упрямым, грубоватым человеком и не отличался особым умом. Доротея обладала острым умом и сильным характером — качества, которые оказались Карлу как нельзя более кстати. Когда мальчику исполнилось два года, его мать уже понимала, что у нее на руках необыкновенно одаренный ребенок, и она всей душой желала дать ему образование, которое позволило бы развить его способности. Гебхард же предпочел бы, чтобы Карл стал каменщиком. Лишь благодаря матери Карл смог исполнить предсказание своего друга — геометра Вольфганга Бойяи. Когда сыну Доротеи было 19, Бойяи сказал, что Карл станет величайшим математиком в Европе. Она растрогалась до слез.

Сын не забыл преданности матери: последние двадцать лет своей жизни она жила у него; ее зрение постепенно ухудшалось, и в конце концов она полностью ослепла. Великий математик решил, что будет сам о ней заботиться, и ухаживал за матерью до самой ее смерти в 1839 году.

Гаусс рано проявил свои способности. В трехлетнем возрасте он наблюдал, как отец, бравший в то время подряды на выполнение работ бригадой подсобных рабочих, раздавал еженедельный заработок. Заметив ошибку в расчетах, мальчик указал на нее изумленному отцу. Никто до этого не обучал его числам. Он выучил их сам.

Несколько лет спустя школьный учитель Й.Г. Бюттнер, желая немного передохнуть, задал классу, где учился Гаусс, задачу в надежде, что она займет их на несколько часов. Задача известна нам не вполне точно, но это было что-то вроде «сложить все числа от 1 до 100». Скорее всего, числа были не такие круглые, но в них содержалась скрытая закономерность: они образовывали арифметическую прогрессию, что означает, что разность между любыми двумя соседними числами была одинакова. Имеется простой, но не сразу очевидный способ сложения чисел из арифметической прогрессии, но в классе этого не проходили, так что ученикам предстоял долгий труд по сложению чисел одного за другим.

Этого, по крайней мере, ожидал Бюттнер. Он велел тем, кто выполнит задание, сразу же положить свою аспидную доску с ответом к нему на стол. Пока его одноклассники выписывали нечто вроде

1 + 2 = 3

3 + 3 = 6,

6 + 4 = 10

с неизбежной ошибкой

10 + 5 = 14

и при этом не знали, где найти место на доске для следующего действия, Гаусс, подумав лишь мгновение, написал на своей доске мелом одно число, подошел к учителю и положил доску ему на стол ответом вниз.

«Он там», — сказал он и вернулся на свое место.

В конце урока, когда учитель собрал все доски, правильный ответ был лишь на одной — на Гауссовой.

Опять же, мы не знаем наверняка, как рассуждал Гаусс, но можно предложить правдоподобную реконструкцию. Скорее всего, Гауссу уже доводилось размышлять о суммах подобного рода, и он углядел полезный прием. (Если нет, значит, он сумел добрести его прямо на месте.) Простой способ получить ответ состоит в том, чтобы сгруппировать числа в пары: 1 и 100, 2 и 59, 3 и 98 и так далее до пары, состоящей из 50 и 51. Каждое число от 1 до 100 встречается в некоторой паре ровно один раз, поэтому сумма всех этих чисел равна сумме всех пар. Но в каждой паре сумма равна 101. А всего пар 50. Так что ответ — 50×101 = 5050. Это (или что-то эквивалентное) Гаусс и написал на своей доске.

Смысл этой истории не в том, что Гаусс был необычно силен в арифметике, хотя так оно и было — позднее, занимаясь астрономией, он запросто выполнял громоздкие вычисления со многими десятичными знаками, работая со скоростью тех умственно неполноценных людей, единственная способность которых состоит в навыке необычайно быстрого счета. Но вычислениями с быстротой молнии его способности не ограничивались. Чем он обладал в избытке, так это даром видеть в математических задачах скрытые закономерности и использовать их для нахождения решения.

Бюттнер был настолько потрясен тем, что Гаусс так легко справился с задачей, что, к чести его будь сказано, снабдил мальчика лучшей книгой по арифметике, которую можно было купить. Через неделю Гаусс уже превзошел своего учителя.