Книга Быстрая математика: секреты устного счета - Билл Хэндли

второй цифры после запятой (4), получив 5.

Таким образом, ответом с точностью до двух знаков после запятой является 35,05.

Ответом с точностью до семи знаков будет 35,0476190. Потом знаки повторяются, так что до 13 знаков после запятой ответ выглядит так:

35,0476190476190

Чтобы округлить до 12 десятичных знаков, рассмотрим тринадцатую цифру, которая равна нулю (меньше 5), поэтому 9 оставляем без изменения:

35,047619047619

Двенадцатая цифра равна 9 (больше 5), поэтому при округлении до одиннадцатого знака цифра 1 переходит в 2:

35,04761904762

При округлении до десятого знака замечаем, что одиннадцатая цифра равна 2 (меньше 5), поэтому оставляем 6 без изменения:

35,0476190476

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно. Вычисления выполняйте до двух знаков после запятой:

а) 4356: 42 = __; б) 2355: 35 = __; в) 4173: 27 = __; г) 8317: 36 = __

Ответы:

а) 103,71; б) 67,29; в) 154,56; г) 231,03

Определение остатка

Иногда при делении нам хотелось бы знать остаток, а не цифры после запятой. Как нам узнать остаток, когда мы делим по множителям?

Правило звучит так:

Умножьте первый делитель на второй остаток и прибавьте первый остаток.

Для вышеприведенного примера мы поступили бы следующим образом:

Начнем с того, что перемножим числа в нижнем левом и верхнем правом «углах»:

3 х 0 = 0

Теперь прибавим первый остаток (1). Искомый остаток равен 1, или 1/21.

Еще один пример:

2327: 35 =

Берем 7 и 5 в качестве множителей числа 35.

Чтобы найти окончательный остаток, перемножаем «угловые» числа (3 х 5 = 15). Теперь прибавим другой остаток (2):

15 + 2 = 17

Получаем в ответе 66 с остатком 17.

Решите следующие примеры самостоятельно и вычислите остаток.

а) 4335: 36 = __; б) 2710: 24 = __

Ответы:

а) 120 r15; б) 112 r22

Деление столбиком по множителям позволяет выполнять немало вычислений в уме, за которые иной человек не рискнул бы и взяться. Я постоянно все результаты вычисляю в уме прямо по ходу соревнований и потому знаю положение в турнирной таблице до того, как объявляют данные. Кроме того, математические вычисления — это прекрасная зарядка для ума.

Глава 13

Стандартное деление столбиком

Когда мы имеем дело с делением на простые числа, то не можем использовать множители, чтобы преобразовать задачу в простое деление на однозначное число. (Простыми являются те числа, у которых нет множителей, например 29.)

Однако мы по-прежнему можем использовать множители при решении таких задач. Речь идет об оценке приближенного значения по ходу решения. Вместо 29, например, мы делим на 30 (сначала на 10, а потом на 3), чтобы узнать целую часть при делении на 29. Например:

24560: 29 =

29 |24560

Нельзя разделить 24 на 29, поэтому добавляем следующую цифру (5). Сколько раз 29 содержится в 245? В этом месте многие жалуются, что сделать это трудно.

Есть простой способ. 29 — это почти 30, поэтому можно сделать оценку путем деления на 30. Чтобы разделить на 30, сначала делим на 10 (что очень легко), а потом на 3 (тоже легко).

После деления 245 на 10 (24,5) просто отбросим последнюю цифру результата и забудем на время об остатке. Задача сейчас состоит в том, чтобы разделить 24 на 3, что не составляет труда. 3 на 8 равно 24. 8 — это первая цифра ответа. Записываем ее над цифрой 5, поскольку сначала речь шла о делении 245 на 29.

Теперь умножим наш ответ (8) на 29, чтобы узнать остаток. Простой способ умножения 29 на 8 состоит в том, чтобы умножить 30 на 8 и вычесть 8 (30 х 8 = 240, 240 — 8 = 232).

8 х 29 = 232

Вычтя 232 из 245, получаем остаток: 13. Теперь решение выглядит так:

Теперь сносим следующую цифру в числе, которое мы делим (делимое). Речь идет о цифре 6. Сносим ее к остатку 13 и получаем 136. Помечаем 6 сверху крестиком «х», чтобы помнить о том, что мы эту цифру использовали.

Делим 136 на 29. Как и раньше, делим сначала на 10, а потом на 3. 136 после деления на 10 дает 13 (остаток отбрасываем), а 13, деленное на 3, дает 4, если не учитывать остаток (4 х 3 = 12). Следующая цифра ответа равна 4. 4 на 29 дает 116. Вычтем 116 из 136 и получим 20.

Снесем 0, получив 200. Делим 200 на 30 (10 х 3):

200: 10 = 20

20: 3 = 6

Это последняя цифра ответа.

6 х 29 = 174

Вычтем 174 из 200 и получим остаток: 26. Полностью решенная задача выглядит так:

Общее правило для стандартного деления столбиком таково:

Округляйте делитель до следующего десятка, сотни или тысячи, чтобы было легче оценивать целую часть от деления.

• При делении на 31 округляйте до 30 и делите на 3 и 10.

• При делении на 87 округляйте до 90 и делите на 9 и 10.

• При делении на 321 округляйте до 300 и делите на 3 и 100.

• При делении на 487 округляйте до 500 и делите на 5 и 100.

• При делении на 6142 округляйте до 6000 и делите на 6 и 1000.

Действуя таким образом, вы сможете быстро прикинуть, какова величина искомой целой части, и вносить в ход решения требуемые коррективы.

Попробуем решить еще один пример:

13570: 317 =

Записываем задачу как обычно:

Округляем 317 до 300, и используемыми множителями будут 3 и 100.

Нельзя разделить 1 или 13 на 300. Также нельзя разделить 135 на 300, но зато 1357 можно. Сколько раз 300 содержится в 1375?

Чтобы разделить на 300, сначала разделим 1357 на 100, а потом на 3.

Деля 1357 на 100, необходимо просто переместить десятичную запятую на две позиции влево или, что еще проще, отбросить две последние цифры. Осталось разделить 13 на 3.

Ответом, разумеется, будет 4 с остатком 1. Нас не волнует остаток на данном этапе, поэтому требуемый ответ — 4. Записываем 4 в качестве первой цифры ответа исходной задачи.

Цифру 4